Page 41 - 14

44
i
i

 y( T)     C1   i   y   i  T  . (3.6)
 0
Відмітимо, що операція взяття кінцевих різниць є лінійною операцією, тобто
 n  n
i
 i   C  y    T  C   y   ,
T
  1   1
де C ,  n , 1 - постійні величини.


Приклад 3.1. Визначити кінцеві різниці гратчастої функції y ( T ) e  T .
За формулою (3.6) знаходимо
i i
 i y ( T )     1 C  i    y   i    eT   T    1 C   i e  i T 
  0   0
e
 e  T e  iT  C 1   1i T  C i 2   2i T  ...    .1 i
e
i
Якщо вираз, що стоїть в дужках порівняти з формулою Ньютона
  1  1 2  2 2  1  1 
a   b  a  C a b  C a b  ...  C ab  b ,
  
T

то приходимо до висновку, що a  e і b  1, тобто
i i
   C1  i  e   i  T  e  T 1  .

 0
Отже,
i
 i y( T)   i e  T  e  T e  T   1 .

3.2.3. Формула Тейлора для гратчастих функцій. Розглянемо таку задачу. Виразимо саму
гратчасту функцію через її різниці різних порядків.
Із рівняння (3.1) можна знайти
y  1  T  y  T   y  T , (3.7)
а рівняння (3.3) дає можливість записати, що
y   2  T  2   y   1   yT   T   2 y  T . (3.8)
Якщо в рівняння (3.8) підставити значення y   1  T , яке визначається формулою (3.7), то
після проведення подібних членів, отримаємо
y   2  T  y  T  2 y  T   2 y  T . (3.9)
Аналогічно, із формули (3.5) визначимо
y   3  T  3   y   2  T  3   y   1   yT   T   3 y  T . (3.10)
Оскільки значення y   1  T і y   2  T обчислюються за формулами (3.7) і (3.9), то
співвідношення (3.10) набуде такого вигляду:
  y   3  T  y   3T   y   3T   2 y  T   3 y  T . (3.11)
Продовжуючи процес обчислень ординат гратчастої функції за відомими різницями
першого, другого і т.д. порядків приходимо до висновку, що в загальному випадку має місце
співвідношення
i

 , (3.12)
  Tiy(   )   C  i  y  T
 0
де прийнято, що  0 y  T  y  T .
В окремому випадку, коли   0
i

y( iT)   C  i  y   0 . (3.13)
 0