Page 40 - 14

43
t віддалені один від одного однаковими проміжками часу T  t  1 t   , квантування називають

періодичним, а T - періодом або часом квантування.
1
Величина f  - носить назву частоти квантування.
В
T

3.2. Гратчасті функції та кінцеві різниці

3.2.1. Поняття гратчастої функції. Однією з основних проблем теорії цифрового
керування є спосіб опису неперервної частини системи зв’язаної з ЕОМ. Розглянемо систему, яка
показана на рис. 3.1. Сигнал на виході ЕОМ це послідовність чисел (tu  ) , яка залежить від
неперервного сигналу (ty ) . Закон зміни (tu  ) безпосередньо залежить від (ty ) . Як знайти цю
залежність? В загальному випадку знаходження цієї залежності представляє собою досить складну
наукову задачу. Цю задачу можна значно спростити, якщо розглядати поведінку системи лише в
дискретні моменти часу T ,   , 2 , 1 , 0 ... . Тобто початкова задача замінюється задачею побудови
дискретного аналогу неперервної системи. Ця операція називається квантування неперервної
системи. Отримана в результаті квантування модель системи носить назву стробоскопічної,
оскільки вона дає зв’язок між змінними системи тільки в моменти квантування.
Основою квантування неперервної системи є поняття гратчастої функції:
Поряд з функціями, які визначені на всій дійсній осі t , можна розглядати функції, які
визначені тільки в заздалегідь заданих точках t ,   , 2 , 1 , 0 ... . Ми будемо розглядати функції, які

визначені тільки у рівновіддалених точках t   T . Такі функції називають гратчастими.

Отже, функція (ty ) , або (y  T ) , яка визначена лише у рівновіддалених точках t   T ,
 
називається гратчастою функцією.

3.2.2. Кінцеві різниці гратчастих функцій. Для характеристики зміни неперервної функції
в часі вводяться поняття першої, другої і т.д. похідних. Аналогічно, для гратчастих функцій
вводять поняття кінцевих різниць.
Вираз
y  ( T )   y  1   yT   T (3.1)
називають кінцевою різницею першого порядку або просто першою різницею.
Перша різниця від гратчастої функції y ( T ) носить назву різниця другого порядку або
друга різниця, тобто
 2 y ( T )    y ( T  )     y   1  T   y  .T (3.2)
Різницю другого порядку можна виразити через ординати гратчастої функції. Застосовуючи
 
формули (3.1) до гратчастої функції y  1  T , замінивши при цьому аргумент  ,на   1,
отримуємо
   y   1  T    y   2   yT      1   yT    k  1   yT   kT .
Останній результат дає можливість формулу (3.2) записати в такому вигляді
 2 y  T    y   2  T  2   y  1   yT   T . (3.3)
Аналогічно можна визначити третю різницю від функції  2 y  T
 3 y ( T )    2 y ( T  )   2   y   1  T   2 y  .T (3.4)
Якщо врахувати формулу (3.3), то третю різницю гратчастої функції можна обчислити за її
ординатами
 3 y  T    y   3   3T    y   2   3T    y   1   yT   T (3.5)
Продовжуючи цей процес, можна ввести поняття різниці і-того порядку (і-тої різниці)
 i ( y  T )    i 1 ( y  T  )   i 1   y   1  T   i 1 y  .T
і показати, що вона виражається через відповідні ординати гратчасті функції за допомогою
такої формули: