Page 37 - 14

40
Приклад 2.5. Математичну модель (2.80), яка описує динаміку одновимірного об’єкта в
просторі станів записати в матрично-векторній формі.
Для цього випадку
x d
 A x  b , u
dt
y  c T x  , u
0

 0 1 0 ... 0      1 x 
 0 0 1 ... 0   1     1 
   2 0 x 2
де A   ... ... ... ... ...  , b    , c   , x   .
 a 0 a 1 a n 1   ...   ...    ...  



   ... ...     n   0   n 
x
 a n a n a n 

Передавальні матричні функції дають можливість описати динаміку багатовимірного
об’єкта системи в частотній області .
Ми ввели поняття передавальної функції для динамічної системи, з одним входом і
виходом. Для систем (об’єктів ), які мають більше однієї вихідної величини вводять поняття
матричної передавальної функції.
Нехай система об’єкт мають m входів і n виходів.
Тоді матричною передавальною функцією називають матрицю розміром n х m ,
елементами якої є передавальні функції W ( p ), що визначаються як відношення i -ї вихідної
ij
величини, до j - ї вхідної, перетворених за Лапласом при нульових початкових умовах.
Y ( p )
W ( p )  i i ,  j , n , 1  , 1 m. (2.86)
ij
U j ( p )
Якщо відома матрично-передавальна функція W ( p ), то між входом (U p ) і виходом (Y p )
багатовимірної системи (об’єкта ) існує такий взаємозв’язок :
Y ( p )  W ( p U ) ( ) p , (2.87)
який за своєю структурою аналогічний співвідношенню (2.63), але на відміну від останнього, в
рівнянні (2.87) (X p ) і (U p )- вектори, а W ( p )- матриця.
Нехай лінеаризована математична модель об’єкта подана у вигляді (2.56) і (2.57) .
Перетворимо рівняння (2.84) за Лапласом при нульових початкових умовах
p X ( ) p  A X ( p )  B U ( p ) ,
із якого знаходимо
X ( p )  ( Ip  A )  1 B U ( p ). (2.88)
Рівняння (2.85) запишемо в частотній області
( Y p )  C X ( p )  D U ( p )
і замінимо в останньому (X p ) його значенням із (2.88) . В результаті отримаємо
Y ( ) p  ( C ( Ip  A )  1 B  D U ) ( p ). (2.89)
Порівнюючи між собою співвідношення (2.87) і (2.89) приходимо до висновку, що
W ( p )  C ( Ip  A )  1 B  D . (2.90)

Приклад 2.6. Знайти матричну передавальну функцію теплового об’єкта .
I
Використовуючи результат прикладу 2.3, бачимо, що C  , а D   0 . Тому у відповідності
з формулою (2.89) маємо.
W ( p )  ( Ip  A )  1 B .
Оскільки