Page 36 - 14

39
подати у вигляді матриць. Тоді аналіз системи зводиться, як правило, до аналізу властивостей
матриць.
Нехай лінеаризована математична модель об’єкта (системи) подана у вигляді системи
диференціальних рівнянь.
dx
i  a 1 i x  a 2 i x  ... a in x  b 1 i u  b 2 i u  ... b im x m , i  n , 1 ;
1
2
n
2
1
dt
(2.82)
Введемо матриці
b
x
a 11 a 12 ... a 1 n   11 b 12 ... b 1 m   11 c 12 ... c 1 n  d 11 d 12 ... d 1 m   1  u 1 
c
 a a ... a  y  b x  b...b x  ... c x  c...c u  d  d d ... d... u  , j  x k , 1 . u  (2.83)







2 
1 j 
jn
A   21 22 2 n  , B j  c 21 1 22 c 2 2 j m 2  , C   c 21 n 22 d n2 1 j 1  , D  2 j u  2221 d m2 jm m  , x  2  , u   2  .
 .......... ....   .......... ...   .......... ...   .......... ...   ...   ... 
           
u
c
b
x
a
 n 1 a n 2 ... a nn   n 1 b n 2 ... b nm   k 1 c k 2 ... c kn   d k 1 d k 2 ... d km   n   m 
Тоді системи рівнянь (2.82) і (2.83) запишемо в такому вигляді :
x d
 A x  B u , (2.84)
dt
y  C x  D u . (2.85)
Тобто, ми отримали форму математичної моделі, яка співпадає з (2.10) і (2.11) . Отже, існує
два шляхи, які приводять до лінеаризованої моделі в матрично векторній формі.
Перший з них полягає в тому, що математичну модель багатовимірного об’єкта подають у
вигляді системи рівнянь (2.5) і (2.6), які лінеаризують у відповідності із формулами (2.8) і (2.9) . В
результаті отримують систему матрично- векторних рівнянь (2.10) і (2.11) .
Суть другого шляху в тому, що лінеаризують кожне рівняння системи (2.3) і (2.4) в
результаті отримують систему рівнянь (2.82) і (2.83), які приводять до рівняння (2.84) і (2.87)

Приклад 2.3. Лінеаризовану математичну модель теплового об’єкта подати у векторно-
матричній формі.
У відповідності із системою рівнянь (2.24) - (2.26) маємо
x d
 A x  B u ,
dt
y  C , x
a 0  b 0  1  0 x  u 
 11  11  1 1
де A    , B    , C    , x   , u    .
b
u
x
 0 a 22   12 b 22   0 1   2   2 

Приклад 2.4 . Математичну модель (2.65) одновимірного об’єкта, яка записана в просторі
станів, подати в матрично-векторній формі.
Маємо
x d
 A x  b , u
dt
y  c T x ,
 0 1 0 ... 0   0    1 x 
 0 0 1 ... 0   0     1 
    0 x 2
де A   ... ... ... ... ...  , b   ...  , c   , x   .
 a n a n 1 a 1  b 0  ...    ...  


   ... ...      0  x 
 a 0 a 0 a 0   a 0   n