Page 17 - 14

20
 
 g  1 ( X U , ) g  1 ( X U , ) g  1 ( X U , )
 .... 
  U 1  U 2  U m 
I gU ( X ( 0 ) U , ( 0 ) )    g  2 ( X U , ) g  2 ( X U , ) .... g  2 ( X U , ) 
  U 1  U 2  U m 
 ...... ...... ...... 
 g  k ( X U , ) g  k ( X U , ) .... g  k ( X U , ) 
  U  U  U   0
 1 2 m  X  X
U  U  0

матриці Якобі, кожна з яких має відповідний розмір - n n , n  m k ,  n i k  m .
У тому випадку, коли об’єкт (система) має тільки один вихід і функція (g X U , )- скалярна
і її розклад в ряд Тейлора, з врахуванням тільки лінійних членів розкладу, задається рівнянням

( g X U , )  ( g X ( 0 ) U , ( 0 ) )  T ( g X ( 0 ) U , ( 0 ) ) X   T ( g X ( 0 ) U , ( 0 ) ) U ,
X U

де  ( g X ( 0 ) U , ( 0 ) ),  ( g X ( 0 ) U , ( 0 ) ) градієнтні функції ( g X U , ) відносно змінних
X U
X U , обчислені в точках X ( 0 ) U , ( 0 ) .
Градієнт функції - це вектор, компонентами якого є часткові похідні відповідних змінних
X X , .... X чи U U , .... U . Градієнт функції в заданій точці X ( 0 ) U , ( 0 ) вказує напрямок
1 2 n 1 2 m
найшвидшого зростання функції.
Для випадку, коли об’єкт має один вхід і вихід, матриця Якобі має тільки один елемент,
який співпадає зі звичайною похідною функції однієї змінної, що обчислюється для значення X  0
або U ( 0 ) .
( d X ( 0 ) )
Якщо врахувати, що в усталеному режимі  0 і  ( X ( 0 ) U , ( 0 ) )  Y , де
0
dt
Y  ( g X ( 0 ) U , ( 0 ) ) та ввести позначення A  J fX ( X ( 0 ) U , ( 0 ) ), B  J U f ( X 0 ( ) U , 0 ( ) ),
0
C  I ( X ( 0 ) U , ( 0 ) ), D  I ( X ( 0 ) U , ( 0 ) ), то отримуємо
g X g U
x d
 A x  B u , (2.10)
dt
y  C x  D u , 2.11)
де x   X , u   U , y   Y
Рівняння (2.10) і (2.11) задають лінеаризовану математичну модель об’єкта. При цьому
рівняння (2.10) описує поведінку об’єкта (системи) в просторі станів, а рівняння (2.11) є рівнянням
спостереженням, яке зв’язує вихід об’єкта зі його входами і змінами стану.
Для рівняння (2.10) початкові умови нульові, оскільки x і y означають відхилення змінних
стану та вихідних величин від усталеного (рівноважного) режиму. Тобто
t ( x )   X  X ( 0 )  X t ( ). Оскільки для рівноважного режиму X ( 0 )  X t ( ), то
0 0 0
 X t ( )  t ( x )  0 .
0 0