Page 13 - 14

16
I   mgl sin  , 0 (1.3)
де І – момент інерції маятника відносно точки підвісу О; m - маса маятника;
l - довжина маятника.
Розв’язок рівняння (1.3) однозначно визначається початковими умовами (0)
)  
=  0 і (  0  .
0
Складемо математичну модель маятника в змінних простору стану.
Введемо позначення  = x 1 і     x  x . Тоді рівняння (1.3) замінимо
1 2
системою рівнянь
dx
1  x , (1.4):
dt 2
dx
I 2  mgl sin x  , 0 (1.5)
1
dt
Із рівняння (1.4) і (1.5) вилучимо змінну t. Для цього розділимо рівняння (1.5) на (1.4).
В результаті визначимо:
dx mgl sin x
2 1
  ,
dx x
1 2
або
Ix 2 dx   mgl sin x 1 dx
2
1
Проінтегрувавши останнє рівняння, одержуємо
x 2
I 2  mgl cos x  . C .
1
2
Перший доданок в (1.6) дає значення кінетичної енергії маятника, другий - потенціальної, а
вся права частина в (1.6) означає, що при русі маятника його повна енергія не змінюється.
Якщо за початок відліку координати x 1 прийняти нижнє положення маятника, то
x 2 x 1
I 2  mgl cos x 1  C
1
2
0
і
x 2
I 2  1 (  cos x 1 ) mgl  C 1 . .
2
Фазові траєкторії маятника показані на рис.1.5.
У кожний момент часу стан системи визначається
положенням точки на фазовій траєкторії. Цю точку, яка має
координати x 1, x 2,… x n, називають відтворюючою точкою.
Відтворююча точка по фазовій траєкторії рухається
зліва направо у верхній на півплощині і справа наліво в
нижній на півплощині.
Замкнутий характер фазових траєкторій (див. рис.
1.5) вказує на те, що система (в нашому випадку маятник)
здійснює незатухаючі коливання.

РОЗДІЛ 2
МЕТОДИ ПОБУДОВИ МАТЕМАТИЧНИХ МОДЕЛЕЙ.

2.1. Основні етапи математичного моделювання

Процес математичного моделювання умовно можна розділити на ряд послідовних етапів.