Page 12 - 14

15
Вхідні величини можна розділити на дві групи – керуючі дії (впливи) та збурення (шуми).
За допомогою керуючих дій можна цілеспрямовано (в бажаному напрямку) змінювати хід
технологічного процесу.
Збурення впливають на технологічний процес, але відсутня можливість їх зміни в
бажаному напрямку.
Вихідні величини якісно та кількісно характеризують хід технологічного процесу, його
зміну в часі та просторі.
Для розвязку цілого ряду задач автоматичного керування математичну модель обєкта
(процесу) зручно подати в просторі етапів, який утворений змінними стану обєкта.
Змінні стану технологічного процесу (обєкта) - це фізичні і абстрактні величини, які в
кожний момент характеризують його стан, тобто показують як процес змінюється з плином часу.
Принципова відмінність між вихідними величинами і змінними стану обєкта полягає в
тому, що вихідні величини - це завжди певні фізичні величини, а змінними стану можуть бути як
фізичні, так і абстрактні величини.
Для детермінованих систем звязок між вхідними, вихідними величинами та змінними
стану виражається у вигляді двох співвідношень:
t ( y ) t ,  ( t ( x ( g ), t ( u t , )), (1.1)
0 0 0
) t ( x  t ( x ( f ( ), t ( u t , )), (1.2)
0 0
які називають рівняннями стану.
У рівняннях (1.1) і (1.2) g i f - це однозначні вектор – функції.
Із рівнянь (1.1) і (1.2) витікає, що вихідний сигнал y на інтервалі (t 0 , t) є однозначною
функцією вхідного сигналу u на цьому інтервалі часу і стану системи x € в момент часу t 0. Стан
системи (x ) t в момент часу t є функцією тих же аргументів. Наведені рівняння задають систему з
визначеним в ній станом.
Вектор стану системи визначається в n-мірному (евклідовому) просторі координатами x 1,
x 2,… x n.
Вектори виходу y і входу u задаються відповідно своїми компонентами y 1, y 2,… y k і u 1,
u 2,… um, які є виходами і входами певної динамічної системи.
Таким чином, змінні стану x1, x 2,… x n утворюють простір, координатами якого будуть
величини x 1, x 2,… x n. В момент часу t змінні x 1, x 2,… x n приймуть значення x 1(t), x 2(t),… x n(t). Змінна
стану (x ) t означає переміщення в просторі станів (або в фазовому просторі) кінця вектора x ,
який опише при цьому деяку траєкторію, яка називається фазовою траєкторією. Із кожної точки
простору станів виходить одна і тільки одна фазова траєкторія.
Як показує рівняння (1.2) кожна фазова траєкторія визначається початковими умовами
t ( x 0 ) (при заданому (u ) t ). Змінюючи (x t 0 ) отримуємо кожен раз нову фазову траєкторію.
Фазові траєкторії не перетинаються між собою (за винятком деяких особливих точок).
Геометричний образ фазового простору у вигляді пучка складових його фазових траєкторій
називається фазовим портретом динамічної системи.

Приклад побудови фазових траєкторій
Розглянемо фізичний маятник, який здійснює рух у площині відносно нерухомої точки О
(рис. 1.4) підвішування. Миттєве його положення визначимо кутом  відхилення від вертикальної
осі, яка проходить через центр підвісу.
Так як рухомий маятник представляє собою механічну систему, то миттєве положення  і
швидкість   положення повністю визначають його стан. Множина всіх можливих станів маятника
визначається умовами ,       . Причому при  = - і  = маятник займе одне і теж верхнє
положення.
Рівняння, яке описує рух маятника за умови відсутності тертя, має такий вигляд: