Page 21 - 14

24
Розглянемо об’єкт (рис. 2.3), на вході якого поступає потік q рідини з температурою T 1. В
1
ємності рідина нагрівається до температури T . Із ємності потік води q поступає
2
споживачам з температурою T . Складемо математичну модель об’єкта при таких
допущеннях:
а) поперечне січення ємності S стале і не змінюється з її висотою;
б) густина і теплоємність рідини  - сталі величини і не залежать від

температури;
г) рідина в ємності ідеально перемішується так, що її температура в усіх точках ємності і на
виході однакова.
д) нехтуємо втратами рідини від випаровування;
е) відсутні теплообмін між ємністю і навколишнім середовищем.
Задачею моделювання є виявлення характеру зміни рівня H і температури T в залежності
від масової витрати q на вході ємності в струму I , який протікає через нагрівник.
1
Основні фізичні закони, які діють в системі, це закони збереження маси та енергії. Закон
збереження маси має вигляд рівняння (2.12) і на його основі отримуємо зміну рівня в часі, яка
виражається співвідношенням (2.13) .
Якщо над системою не виконується робота або система не виконує роботи, то
замість закону збереження енергії доцільно користуватись законом збереження
теплоти (тепловий баланс), який для нашого випадку буде мати такий вигляд.

[Швидкість накопичення тепла ]=[Прихід тепла]-[Відбір тепла]. (2.20)

Швидкість накопичення тепла обчислюємо за формулою
dQ ( d cmT ) ( d HT )
  c S .
dt dt dt
Прихід тепла відбувається з потоком q і в результаті нагрівання рідини електричним
1
струмом I . Тобто
[Прихід тепла]=Q  Q ,
1 2

де Q  q cm ;Q  I 2 R , R - електричний опір нагрівника.
1 1 2
Тепло Q , яке відводиться з ємності потоком q обчислюється за формулою
3 2
Q  cTq .
3
2
Оскільки q    gH , то Q  cT  gH .
2
3
Таким чином, математична модель об’єкта буде подана двома диференціальними
рівняннями
dH 1
 q    gH , (2.21)
1
dt  S

( d HT ) 1  R 
  Tq 1 1  I 2 T  gH  , (2.22)
dt S  c 
Похідну в лівій частині рівняння (2.22) подамо в такому вигляді
( d HT ) dH dT
 T  H .
dt dt dt
dH
Якщо врахувати значення , яке визначається правою частиною рівняння (2.21), то
dt
T dT 1  2 R 
q   gH  H   Tq  I T  gH  (2.23)
S 1 dt S  1 1 c 