Page 15 - 14

18
Якщо процес в елементі протікає так, що величина y не змінюється в часі, то режим роботи
елементу називають усталеним. Описується цей режим можна (допустивши, що об’єкт
стаціонарний) алгебраїчним рівнянням, яке легко одержати з його диференціального рівняння,
прирівнявши всі похідні до нуля:
F(y,u) = 0. (2.2)
Графічне зображення залежності F(y,u) = 0 називають статичною характеристикою
елементу.
Статична характеристика відтворює геометричне місце точок можливих рівноважних
(статичних) режимів роботи елемента.
В залежності від статично характеристики елементи діляться на лінійні і нелінійні.
Із-за нелінійності статичних характеристик диференціальні рівняння більшості елементів є
нелінійними.
2.3 Спрощення (ідеалізація) об’єктів

Процес побудови математичної моделі починається з аналізу об’єкта як складної
кібернетичної системи з виявлення тих основних факторів (зовнішніх впливів), які вирішальним
чином впливають на поведінку об’єкта.
Повнота і детальне врахування всіх факторів і внутрішніх властивостей об’єкта залежить
від мети моделювання і від складності і вивченості динамічної системи. Проте неможливо
побудувати абсолютно точну математичну модель об’єкта, яка враховувала б всі зв’язки в системі
і взаємодія її з навколишнім середовищем. Якщо така модель і була б побудована, вона була б
малопридатною для практики із-за своєї складності.
Тому етапу побудови математичної моделі передує етап спрощення (ідеалізації) об’єкта,
коли не приймаються до уваги ті фактори, які, на думку дослідника, не впливають (або впливають
незначно) на поведінку об’єкта. Наприклад, нехтують силою тертя, опором повітря; рідина
приймається однорідною, газ ідеальним, тіло абсолютно твердим, теплопровідність нескінченно
великою; рідина при нагріванні ідеально переміщується, стержень нескінченно довгий і т. п.
Після того, як математична модель отримана, наступає другий етап спрощення (ідеалізації).
Аналізують всі складові моделі i якщо виявиться, що деякі члени моделі за своїм значенням
значно менші від інших членів моделі (при можливих режимах роботи об’єкта), то такими
членами нехтують. В теорії керування є особлива форма ідеалізації, яка називається
лінеаризацією. Суть якої в тому, що нелінійні функції, які входять в диференціальні рівняння
розкладають в ряд Тейлора, обмежившись лише лінійними членами такого ряду.
Фізичною можливістю лінеаризації є те, що переважна більшість автоматичних систем
керування будуються з використанням принципу від’ємного зворотного зв’язку, який забезпечує
невеликі відхилення вихідних величин об’єкта від своїх усталених (заданих) значень.
Нехай математична модель об’єкта подана у вигляді системи диференціальних рівнянь
dX
 f i ( U , X ), i  , 1 n ; (2.3)
dt
( 0 )
Y  g ( X U , ), j  , k , 1 X t ( )  X , (2.4)
j j 0
де (f X U , ), g ( X U , ) - скалярні функції векторних аргументів X i. U .
i j
Рівняння (2.3) і (2.4) зручніше записати у векторно-матричній формі, яка значно спрощує
наступний аналіз математичних моделей (аналіз і синтез систем автоматичного керування)
d X
 ( f X U , )
dt
(2.5)
Y  ( g X U , ),
(2.6)