Page 18 - 14

21
2.4. Приклади побудови математичних моделей типових об’єктів

Гідравлічний об’єкт
В ємність (рис.2.1) поступає рідина з відомою масовою витратою q ; витрата
1
рідини, яка витікає із ємності q . Необхідно знайти зміну рівня H ) t ( для будь-
2
якого моменту часу t в залежності від зміни витрати q на вході в ємність (див
1
рис. 2.1).
Математичну модель ємності будемо складати при таких
допущеннях :
а) густина рідини  const і не залежить від температури;
б) поперечне січення в ємності S стале і не змінюється з висотою;
г) випаровуванням рідини нехтуємо.
Основним фізичним законом, який обумовлює динаміку об’єкта, є рівняння матеріального
балансу, що має такий вигляд:
[Швидкість накопичення рідини]=[Притік]-[Стік]. (2.12)
dm
Швидкість накопичення рідини - це зміна маси рідини в часі, тобто . Якщо площа
dt
поперечного січення S , а рівень рідини H , то маса рідини m  V   SH  . Тоді
dH
 S  q  q .
2
1
dt
При вільному витіканні рідини із ємності q    gH , де  - місцевий гідравлічний опір.
2
Отже :
dH
 S  q    gH . (2.13)
1
dt
Рівняння (2.13) відтворює зміну рівня рідини в ємності при зроблених допущеннях
(ідеалізації). Воно нелінійне. Якщо відхилення рівня H від рівноважного стану H ( 0 ) невелике, то
рівняння (2.13) можна лінеаризувати. Нехай H   H ( 0 )   H і q  q ( 0 )   q Тоді
1 1 1
 q  ( H )
0
(
)

q 2 ( H )  q 2 ( H )  2   H .
  H 0 
З врахуванням значення q будемо мати
2
 g
q 2 ( H )  q ( 2 0 )    H ,
2  gH ( 0 )
де q 2 ( 0 )  q 2 ( H ( 0 ) )
В рівноважному стані q ( 0 )  q ( 0 ) . Тому
1 2
( d  H )  g
 S   q   H .
1
dt 2  gH ( 0 )
Останнє рівняння перепишемо в дещо іншому вигляді
( d  H )  g 1
   H   q .
dt 2 S  gH ( 0 )  S 1
 g 1
Якщо ввести позначення x   H u ,   q a ,   і b  , то рівняння динаміки
1 ( 0 )
2 S  gH  S
ємності набуде стандартного вигляду (порівняйте з рівнянням (2.10))
dx
 ax  bu ,
dt