Page 106 - 14

109
x (( k  T ) 1 )  ( x kT )  ( u kT ), (5.40)
( y kT )  C ( x kT ), (5.41)
де (x 0 )  0
До рівнянь (5.40) і (5.41) застосуємо Z-перетворення, враховуючи те, що (x 0 )  0 . В
результаті отримуємо
z X ) z (   X ) z (   U z ( ),

) z ( Y  C X z ( ).
Із отриманої системи рівнянь вилучимо проміжну змінну (X ) z . Тоді

1
) z ( Y  C ( zI   )  U ) z ( . (5.42)
З іншої сторони, якщо відома дискретна матрична передавальна функція W ) z ( , то
(Y ) z  W U ) z ( ) z ( . (5.43)
Співставляючи рівняння (5.42) і (5.43), приходимо до висновку, що
W ) z (  (C zI   ) 1  . (5.44)
Відмітимо, що співвідношення (5.42) і (5.43) визначають дискретну математичну модель
об’єкта в термінах “вхід – вихід”.
У розділі 5.1 розглянутий метод знаходження дискретної передавальної функції
одновимірного об’єкта за його передавальною функцією W ( p ). В тому випадку, коли дискретна
модель одновимірного об’єкта подана в просторі станів, його передавальну функцію W ) z ( можна
обчислити, використавши формулу (5.44). Нехай  0  0 . Це означає, що порядок полінома
чисельника менший порядку полінома знаменника передавальної функції W ( p ). Такий випадок
найчастіше зустрічається на практиці. Тоді, як це випливає із співвідношення (5.35) і (5.36),
T
W ) z (  c ( Iz   ) 1  . (5.45)
Неважко переконатись, що в загальному випадку системі рівнянь (5.31) і (5.32) відповідає
така передавальна функція:
1

W ) z (  C ( zI   )   D. (5.46)
У тому випадку, коли математична модель одновимірного об’єкта в просторі станів
трансформована в систему рекурентних співвідношень (5.32) і (5.36), то
T
1

W ) z (  c ( Iz  )    . (5.47)
0

Приклад 5.7 Математична модель одновимірного об’єкта (див. приклад 5.6) в просторі
описується такою математичною моделлю:
d x
 A x  , u b
dt
T
y  c 0 ( x , x )  , 0
а її дискретна трансформація задана системою рівнянь
x (( k  T ) 1 )   ( x kT ) ( u  kT ),
T
( y kT )  c ( x kT ).
Значення матриці  і векторів  і c знайдені в прикладі 5.6:
 2  d 1  d  1 d (  )1 2  1 
  d   ,   3 2  , c   .
  (2 1  )d  1(  d2 )   1 ( d  )d   0 
 
Знайдемо дискретну передавальну функцію об’єкта W  z . Для цього скористаємось
формулою (5.45).