Page 108 - 14
P. 108

111
                                   (W  ) s  1                 W   ) s (  1  
                               Re s                    lim    ss          ,        (5.51)
                                            1  sT           i         1  sT  
                                    s   1  z  e   s   s  i  s  s i   s  1  z  e  
          а для  r   1
                            (W  ) s  1           1       d  r 1  r W  ) s (  1  
                        Re  s                        lim      s (   s  )         .       (5.52)
                                                          
                                    1  sT            s ds  r  1  i        1  sT  
                             s  1   z  e   s   s i  r (   )!1  s  i   s  1   z  e  
                У виразах (5.51) і (5.52) застосовуються правила диференціювання матриць ( див розд. 4 ), а
          границя від матриці знаходиться як границя від її елементів.

                Приклад  5.8  Лінеаризована  математична  модель  об’єкта  описується  системою
          диференціальних рівнянь
                                            dx 1
                                                  x   x   u  ,
                                            dt     1  2   2
                                           dx 2
                                                 2 x   4 x   u  ,
                                           dt      1   2   2
                                             y   x 1  y ;  2    x  2 .
                                              1
                Знайти  дискретну  матричну  функцію  об’єкта  W  ) z (    за  дискретною  моделлю  в  просторі
          станів і за матричною функцією  (W  p  ). Співставити отримані результати.
                Знайдемо спочатку дискретну трансформацію об’єкта. Подамо модель об’єкта в матрично-
          векторній формі.
                                              d  x
                                                   A x   B  , u
                                              dt
                                              y   , x
                 1  1     1   0
          де  A        ;  B        .
                  2   4    0  1 
                             1p   1                       1    4p  1  
                Тоді Ip   A          і відповідно  Ip(   A ) 1        , де
                             2   p   4                    p(  )    2  p   1 
                  2
            (   p  )   p   5 p   6 .
                Знаходимо  фундаментальну  матрицю  об’єкта,  використавши  формулу  (4.74).  Спочатку
                                                                   2
          обчислимо полюси функції   (  p  j , i ),    2 , 1 , розв’язавши рівняння  p   5  p   6   0 .
                                   ij
                Маємо  p     ; 2  p    3.
                               2
                        1
                Отже,
                                        p   4    pt  p   4    pt    t 3    t 3
                                 11    lim  e    lim  e     e 2    e  .
                                    p  2 p   2  p  3 p   2
                Аналогічно знаходимо, що
                              12    e    t 2   e   t 3  ; 21      e ( 2    t 2    e    t 3  ); 22    e     t 2    e 2    t 3  .
                Замінивши в функціях   t (  j , i ),    2 , 1   t  на час дискретності T, знайдемо матрицю
                                     ij
                                              2   d    1   d  
                                          d  2                ,
                                              (2  1   )d   1(   d2  ) 
          де d   e   T  .
                Обчислимо матрицю  . Оскільки  B -одинична матриця, то
                                            T          T
                                               (   Bd)       (  d)   ,
                                            0          0
   103   104   105   106   107   108   109   110   111   112   113