Page 108 - 14
P. 108
111
(W ) s 1 W ) s ( 1
Re s lim ss , (5.51)
1 sT i 1 sT
s 1 z e s s i s s i s 1 z e
а для r 1
(W ) s 1 1 d r 1 r W ) s ( 1
Re s lim s ( s ) . (5.52)
1 sT s ds r 1 i 1 sT
s 1 z e s s i r ( )!1 s i s 1 z e
У виразах (5.51) і (5.52) застосовуються правила диференціювання матриць ( див розд. 4 ), а
границя від матриці знаходиться як границя від її елементів.
Приклад 5.8 Лінеаризована математична модель об’єкта описується системою
диференціальних рівнянь
dx 1
x x u ,
dt 1 2 2
dx 2
2 x 4 x u ,
dt 1 2 2
y x 1 y ; 2 x 2 .
1
Знайти дискретну матричну функцію об’єкта W ) z ( за дискретною моделлю в просторі
станів і за матричною функцією (W p ). Співставити отримані результати.
Знайдемо спочатку дискретну трансформацію об’єкта. Подамо модель об’єкта в матрично-
векторній формі.
d x
A x B , u
dt
y , x
1 1 1 0
де A ; B .
2 4 0 1
1p 1 1 4p 1
Тоді Ip A і відповідно Ip( A ) 1 , де
2 p 4 p( ) 2 p 1
2
( p ) p 5 p 6 .
Знаходимо фундаментальну матрицю об’єкта, використавши формулу (4.74). Спочатку
2
обчислимо полюси функції ( p j , i ), 2 , 1 , розв’язавши рівняння p 5 p 6 0 .
ij
Маємо p ; 2 p 3.
2
1
Отже,
p 4 pt p 4 pt t 3 t 3
11 lim e lim e e 2 e .
p 2 p 2 p 3 p 2
Аналогічно знаходимо, що
12 e t 2 e t 3 ; 21 e ( 2 t 2 e t 3 ); 22 e t 2 e 2 t 3 .
Замінивши в функціях t ( j , i ), 2 , 1 t на час дискретності T, знайдемо матрицю
ij
2 d 1 d
d 2 ,
(2 1 )d 1( d2 )
де d e T .
Обчислимо матрицю . Оскільки B -одинична матриця, то
T T
( Bd) ( d) ,
0 0