Page 75 - 128

Коливання або сигнал f(t) завжди є дійсною функцією
часу, проте компактність комплексних співвідношень
призвела до частого використання комплексного
представлення негармонійних коливань. Щоб таке подання
було однозначним у усіх відношеннях, воно здійснюється
аналітичними, або голоморфними, функціями. Вони,
приходячи за формою функціями двох незалежних змінних х
и у, фактично залежать тільки від комбінації цих змінних
(x+jy), тобто є функцією однієї незалежної змінної z.
Аналітичність комплексної функції перевіряється
умовами Коші-Рімана, відповідно до котрих щодо функції
[Р(х,у) +j(x,y)] завжди повинні виконуватися рівності
дP дQ дP дQ
 ;   .
дx дy дy дx
Для досягнення аналітичності комплексної функції, за
допомогою котрої бажано подати реальний

r
сигнал (tf )   n q n ) (t , останній записується у формі
n 1
 (t )  f (t )  jg (t ) (4.37 )
як функція комплексного часу t+j.
При цьому мниму частину виразу (4.37) варто
обчислювати по формулі
1  f (  )
g( t)    d (4.38)
   t
і, отже,
1  g(  )
f ( t)     d . (4.39 )
   t
Співвідношення (4.38) і (4.39) називаються парою
перетворень Гільберта. f(t) і g(t) іменуються сполученими
коливаннями.
t)
Для випадку гармонійного коливання f (  Acos t 
дістаємо
 (t )  A (cos t  j sin  ) t ,
76