Page 293 - 126

Виведемо формули для головних моментів інерції.
Позначимо головні осі інерції Оу 0 та Оz 0. Виконаємо таку
послідовність перетворень:
1 cos 2
2
2
J  J cos  J sin  J sin 2  J 0 
 y y 0 z 0 yz 0 y
2
1 cos 2 1
J 0 J sin 2    J J    J J cos 2   JJ  2tg sin 2 
z yz 0 y z y z 0 y z 0 0
2 2
2
1   cos 2 2  sin  1 1 
2  
   J y J z    J y J z   0       JJ y z    J y J z   .
2    cos 2 0    2  cos 2 0

Аналогічно знайдемо формулу для J z0 і запишемо залежності
для головних моментів інерції:

1  1 

J   J  J  J  J   ;
0 y y z y z
2  cos 2 0 
1  1 
J   J  J  J  J   ; (11.35)

0 z y z y z
2  cos 2 0 
Дістанемо ще один варіант формул для головних моментів
інерції. З виразів (11.28) випливає

2
2
J  J cos   J sin   J sin 2 ;
0 y y 0 z 0 yz 0
2
2
J  J sin   J cos   J sin 2 ; (11.36)
 z y 0 z 0 yz 0
J  J  J sin 2  2J cos 2 ;
0 y 0 z y z 0 yz 0

Склавши ліві та праві частини двох перших формул (11.36),
дістанемо формулу, тотожну (11.33). Віднявши від першої
формули (11.36) другу, матимемо

J  J  J  J cos 2  2J sin 2 ;
0 y 0 z y z 0 yz 0
Візьмемо квадрат обох частин цього рівняння і додамо до
правої частини квадрат правої частини третього з виразів
(11.36), що дорівнює нулю. Тоді

417