Page 291 - 126

тобто сума осьових моментів інерції перерізу відносно осей
декартової системи координат при повороті їх не змінюється. Ця
сума є інваріантом — сталою величиною. Зазначимо, що
інваріантом можна вважати полярний момент інерції
J  J  J
p y z

11.3 Головні осі інерції та головні моменти інерції

З виразу (11.28) випливає, що моменти інерції перерізу є
функціями кута ά. При зміні кута вони змінюватимуться за
модулем, але сума їх залишатиметься сталою. Інакше кажучи,
один з осьових моментів зростатиме і досягне деякого найбільшого
значення J max, а інший зменшуватиметься і відповідно набере
значення J min. Ці значення осьових моментів перерізу називають
головними. Відповідні до них осі називають головними осями
інерції. Якщо ці осі проходять через центр ваги перерізу, то їх
називають головними центральними осями, а моменти інерції
відносно таких осей — головними центральними моментами
інерції.
Положення головних осей інерції (в тому числі центральних)
можна знайти, склавши умови екстремальності головних моментів
інерції:
dJ dJ
 y  z
 ; 0  ; 0 (11.30)
d  d 
Запишемо, наприклад, другу з цих умов для моменту інерції Jz ά
[формула (11.28)]:

dJ
 z
 2J y sin cos  2J z cos sin  2J yz cos 2 
d 
(11.31)
 J y  J z 
2 
 2 sin 2  J cos   2J  ; 0
 yz   y  z
 2 
тобто умова екстремальності осьових моментів інерції
відповідає рівності J  0. Отже, відцентровий момент
 y  z
інерції перерізу відносно головних осей дорівнює нулю:

415