Page 110 - 126

4.3 ЕЛІПСОЇД НАПРУЖЕНЬ.
Ще раз розглянемо рівняння (4.4), припустивши при цьому,
що осі х, у, z співпадають з головними осями. В цьому разі всі
дотичні напруження рівні нулеві, нормальні - визначаються із
виразів (4.5). Оскільки згідно співвідношень (4.6’) сума
квадратів направляючих косинусів рівна одиниці, то із виразів
(4.5) випливає таке рівняння:
2
 2  ny  2
nx   nz  1. (4.10)
 2  2  2
1 2 3
Величини  nx,  ny,  nz в (4.10) можна розглядати як
координати кінця вектора повного напруження в деякій
довільній площинці. Якщо цю площинку повертати в
просторі, то кінець вектора повного напруження опише певну
поверхню – еліпсоїд, причому головні напруження будуть
визначатися півосями цього еліпсоїда, який назвемо
еліпсоїдом напружень.
Маючи такий наочний геометричний образ зміни
напружень в площинках, що проходять через задану точку,
сформулюємо ряд висновків про напружений стан:
а) вектор повного напруження, побудований всередині
еліпсоїда, не може перевищувати величину найбільшої півосі.
З цього випливає, що скільки б площинок ми не проводили,
напруження  1 буде найбільшим в усій цій множині;
б) найменше з головних напружень  3 є одночасно і
найменшою з усіх повних напружень, що можуть бути
знайдені в площинках в околі точки М;
в) якщо два головні напруження рівні нулеві, то
поверхня (4.10) перетворюється в еліпсоїд обертання; зокрема,
коли три головні напруження рівні, то еліпсоїд
перетворюється в сферу, і в цьому разі всі площинки є
головними. Такий факт має місце при навантаженні
однорідного тіла рівномірно-розподіленим тиском. При
такому навантаженні дотичні напруження у всіх перерізах
рівні нулеві.

4.4 ПЛОЩИНКИ МАКСИМАЛЬНИХ ДОТИЧНИХ
НАПРУЖЕНЬ.
Поставимо зараз таке питання: чи існують ще якісь
площинки, крім головних (які ми вже вивчили), котрим

299