Page 105 - 126

РОЗДІЛ 4. ОСНОВИ ТЕОРІЇ ПРОСТОРОВОГО
(ТРИВІСНОГО) НАПРУЖЕНОГО І ДЕФОРМОВАНОГО
СТАНУ.

4.1 НАПРУЖЕНИЙ СТАН В ТОЧЦІ
Розглянемо найбільш загальний випадок напруженого
стану, який зветься просторовим (об’ємним) або тривісним.
Як відзначалося в розд.1., напружений стан в довільній точці
тіла характеризується тензором напруг  ij. Зараз про цей факт
дещо докладніше.
Уявимо собі довільне просторове тіло, певним чином
закріплене і навантажене системою сил Р і, що задовольняють
умовам рівноваги. Через довільно вибрану в тілі точку М

проведемо січну площинку з нормаллю n . Очевидно, на ній
діє деяке напруження , яке може бути розкладене на два
напруження – нормальне  n і дотичне  n. Якщо змінити
орієнтацію площинки (нормаль n’), залишивши точку цією ж,
то в новій площинці теж виявимо напруження ’ і нові
'
компоненти  ' , .
n n
Сукупність напружень, які виникають на множині
площинок, що проходять через задану точку тіла М, назвемо
напруженим станом у точці. Наше завдання – встановити, як
змінюються напруження в точці залежності від орієнтації

січної площинки, тобто нормалі до неї n . Зробити це можна
таким чином. В околі точки М виділимо малий об’єм у
вигляді паралелепіпеда зі сторонами довжиною dx, dy, dz, осі
x, y, z направимо вздовж ребер (рис.4.1). вважаючи розміри
елемента як завгодно малими, внутрішні сили (напруження)
вважатимемо рівномірно розподіленими по гранях.
Зауваження 1. Загальна система позначень для напружень
така: нормальні напруження позначаються  хх або  х,  уу або
 у,  zz або  z, дотичні - грецькою буквою  з двома індексами–
перший індекс визначає нормаль до площинки (грані), а
другий – відповідає напряму дії.
Таким чином, маємо дев'ять компонентів напруженого стану в
точці:
- нормальні напруження  х,  у,  z;
- дотичні напруження  ху,  ух,  xz,  zx,  zy,  yz.

294