Page 108 - 126

не змінюється, тензор  ij залишається тим же, змінюється
лише вигляд матриці (4.3).

4.2 ГОЛОВНІ ПЛОЩИНКИ І ГОЛОВНІ
НАПРУЖЕННЯ
Терміни “головні площинки” і “головні напруження” нам
уже відомі з вивчення плоского напруженого стану. Тепер ці
поняття розширимо.
Вернемося до формул (4.1)- (4.2). Аналізуючи їх прийдемо
до такого визначального співвідношення для напружень на

довільній похилій площинці з нормаллю n :
2
2
2
 n= хxn x + yn y + zn z +2 yzn yn z+2 zxn xn z+2 xyn xn y (4.4)
Виходячи з цього виразу (4.4), як квадратичної форми
відносно направляючих косинусів n x, n y, n z , можна дати
класичне доведення існування трьох головних площинок в
загальному випадку просторового напруженого стану.
Перейдемо до визначення величини головних напружень.
Якщо площинка є головною, то діюче в ній напруження 
спрямована вздовж нормалі і тому маємо вирази
 nx=n x,
 ny=n y, (4.5)
 nz=n z.
Порівнюючи праві частини співвідношень (4.2) і (4.5),
оскільки вони є одними і тими ж компонентами напружень,
отримаємо три рівняння
( х-)n x+ xyn y+ xzn z=0,
 xyn x+( y-)n y+ yzn z=0, (4.6)
 xzn x+ yzn y+( z-)n z=0.
Одержану систему (4.6) слід розглядати як три рівняння для
відшукання трьох направляючих косинусів n x, n y, n z, що
визначають розташування головних площинок в заданій
системі координат х, у, z. Проте, оскільки система (4.6) є
однорідною, то її розв’язок може бути лише нульовим, що
протирічить відомому тригонометричному співвідношенню
для направляючих косинусів
n 2  n 2  n 2  1 (4.6’)
x y z
Коректний вихід із такої ситуації досить простий і відомий з
алгебри: система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь

297