Page 109 - 126

має не нульовий розв’язок лише в тому випадку, коли
визначник цієї системи рівний нулеві
 -S  yx  zx
 xy  y-S  zy = 0 (4.7)
 xz  yz  z-S

Отриманий вираз і є рівнянням для визначення поки що
“вільного” параметра - головного напруження. Оскільки
рівняння (4.7) є кубічним відносно , то це означає, що
розв’язуючи його одержимо три його корені, тобто три
головні напруження.
Розкриваючи визначник (4.7) згідно відомого алгебраїчного
правила, отримаємо рівність
2
3
S -J 1S +J 2S-J 3=0, (4.8)
де коефіцієнти J 1, J 2, J 3 виражаються через компоненти
напруженого стану (компоненти тензора напружень). Так
J 1= x+ y+ z,
2
2
2
J 2= y z+ z x+ x y- yz- zx- xy, (4.9)
 x  yx  zx
J 3=  xy  y  zy
 xz  yz  z .
Оскільки корені кубічного рівняння (4.8) визначаються лише
характеристиками напруженого стану і не залежать від вибору
осей координат, то це означає, що яку б систему похилих
площинок ми не вибирали, розв’язок рівняння (4.8)
змінюватись не буде. Це в свою чергу можливе лише при
одному випадку, коли коефіцієнти J 1, J 2, J 3 кубічного рівняння
(4.9) при повороті систем координат будуть незмінними.
Таким чином, три величини J 1, J 2, J 3 слід вважати
інваріантами напруженого стану. Відповідно вони так і
звуться: перший J 1, другий J 2 і третій J 3 інваріанти
напруженого стану.
Зауваження. В деяких часткових випадках інваріанти J i
можуть прийняти і нульові значення. До речі, якщо, для
прикладу J 3=0, значить буде рівне нулеві і одне з головних
напружень, і тому в цьому разі напружений стан не буде
тривісним. Якщо одночасно J 2=J 3=0, то результуючий
напружений стан є одновісним (лінійним).

298