Page 107 - 126

Умови рівноваги є такими.
z  nx = x n x+ xyn y + xzn z
(4.2)
 ny= xyn x+ yn y+ yzn z
 n  nz= xzn x+ yzn y+ zn z

n

x

y
Рис.4.2

Тут позначено  nx,  nу,  nz проекції на осі x, y, z вектора
напруження на похилій площинці: n x, n y, n z – направляючі
косинуси вектора нормалі до цієї площинки n.
Отримані формули (4.2) і є підтвердженням того факту, що,
якщо задано шість компонент напружень на трьох взаємно-
перпендикулярних площинках, то стан тіла в точці є відомим.
Таким чином, напружений стан в точці визначається не
трьома (як для векторної величини), а шістьма компонентами.
Такий об'єкт назвемо тензором
 х  yx  zx
    xy  y  zy (4.3)
 xz  yx  z .
Цей тензор є симетричним тензором другої валентності.
Зауваження 2. До цього часу ми активно використовували
поняття векторної величини, яка в загальному просторовому
випадку визначається трьома компонентами і має чіткий
геометричний зміст. Її зображаємо стрілкою, координати
кінцевої точки якої задаються трьома числами. Тензорній же
величині  ij такого геометричного вираження дати
неможливо. Разом з тим, над тензорами можна проводити
певні операції, основними з яких є згортка по індексах (або
сумування), диференціювання та ін.
Основною визначальною ознакою тензорної величини  ij є
її інваріантність (незмінність) по відношенню до зміни
системи координат х, у, z. При повороті осей напружений стан

296