Page 309 - 79

Теоретична механіка. Динаміка

I    mga sin  ,
 
Z
або
mga
   sin   0. (3.290)
I Z
Отримане рівняння є диференціальним рівнянням коли-
вань фізичного маятника. Незважаючи на простоту, воно є не-
лінійним і в елементарних функціях не інтегрується. Тому об-
межимось розглядом малих коливань маятника, для яких мо-
жна прийняти sin    . Тоді диференціальне рівняння коли-
вань фізичного маятника запишеться у формі
mga
     0, (3.291)
I
Z
і його загальний розв’язок, як відомо з попереднього
(див.§41.5), має вигляд
  A sin  tk   . (3.292)
Тут A – амплітуда коливань,  – початкова фаза коливань.
Вони визначаються з початкових умов. Як це робиться, було
детально розглянуто в попередніх розділах (див., наприклад,
§ 41.5).
З отриманого розв’язку (3.292) можна зробити висновок,
що малі коливання фізичного маятника є гармонічними. Час-
тота цих коливань визначається формулою
mga
k  , (3.293)
I
Z
а період
 2 I
T   T   2 Z . (3.294)
Ф
Ф
k mga
Диференціальне рівняння коливань математичного
маятника отримане в § 31 і має вигляд
g
   sin   0 ,

де  – довжина маятника.
Якщо покласти sin    , то отримаємо

302