Page 262 - 79

Деякі спеціальні питання динаміки

Нерівність (д) показує, що рух системи, початкові збу-
рення якої задовольняють умову (б), відбувається в околі
положення рівноваги, а це означає, що задане положення рів-
новаги є стійким. До того ж при зменшенні T і  до нуля
0 0
T і  також наближаються до нуля. Останнє випливає з рів-
ності (а) і є суттєвою, як було сказано вище, ознакою стійкості
рівноваги. Таким чином, теорема доведена.
Треба зауважити, що теорема Лагранжа–Діріхле є лише
достатньою умовою стійкості рівноваги і не допускає зворот-
ності. На базі даної теореми не можна, наприклад, стверджу-
вати, що відсутність мінімуму потенціальної енергії в поло-
женні рівноваги означає нестійкість даної рівноваги. Також на
основі даної теореми не можна стверджувати, що положення
стійкої рівноваги завжди відповідає мінімуму потенціальної
енергії.
Теореми, яка б вказувала на необхідну ознаку стійкості
рівноваги, немає. Відсутність цієї теореми частково компенсу-
ється двома теоремами Ляпунова (Д-16) про нестійкість рів-
новаги. Сформулюємо ці теореми без доведення.
1. Якщо в положенні рівноваги системи її потенціальна
енергія не має мінімуму і його відсутність встанов-
люється аналізом членів другого порядку в розкладі
потенціальної енергії в ряд Маклорена, то це поло-
ження рівноваги є нестійким.
2. Рівновага системи нестійка, якщо її потенціальна
енергія в даному положенні має максимум, який ви-
значається членами найнижчого порядку в розкладі
потенціальної енергії в степеневий ряд (ряд Макло-
рена).
Практика показує, що багато випадків задовольняють те-
орему Лагранжа-Діріхле або теореми Ляпунова.

§ 41.3 T , Р i R механічної системи,
яка рухається в околі положення стійкої рівноваги

Кінетична енергія склерономної системи, що має s сту-
пенів вільності, визначається формулою (3.203)

255