Page 260 - 79

Деякі спеціальні питання динаміки

Як відомо (див. § 30, рівняння 3.194), рівняння рівноваги
консервативної системи мають вигляд

 0 , k  1 ,2 ,..., S .
q  k
З цих рівнянь випливає, що консервативна система пере-
буває в рівновазі в тих положеннях, де її потенціальна енергія
має екстремальні значення. Однак дані рівняння не вказують,
якою (стійкою чи нестійкою) є ця рівновага.
Задача визначення стійких положень рівноваги спонукала
багаточисельні наукові дослідження. Критерії відбору таких
положень намагалися встановити ще давньогрецькі вчені Арі-
стотель (384-322 рр. до н.е.), Архімед (287-212 рр. до н.е.). В
1644 р. Торрічеллі в загальному вигляді сформулював крите-
рій стійкості рівноваги системи твердих тіл, що перебувають
під дією сил ваги. Положення такої системи є стійким, якщо її
центр ваги займає найнижче положення. Лагранж узагальнив
цей критерій для будь-яких консервативних систем, сформу-
лювавши відповідну теорему, строге доведення якої було дано
Діріхле в 1847 р.

§ 41.2 Теорема Лагранжа–Діріхле

Якщо в положенні рівноваги консервативна
система має ізольований мінімум потенціаль-
ної енергії, то це положення рівноваги є стійким.
Для доведення теореми розглянемо консервативну систе-
му, що має s ступенів вільності і яка в деякому положенні пе-
ребуває в рівновазі. Не обмежуючи загальності, будемо вва-
жати, що в даному положенні узагальнені координати системи
дорівнюють нулеві ( q 1  q 2  ...  q s  0 ). Оскільки потенці-
альна енергія системи визначається з точністю до деякої по-
стійної, то можна також припустити, що в положенні рівнова-
ги вона дорівнює нулеві, тобто:
  00 ,...,, 0  0 .
Якщо потенціальна енергія системи в положенні рівнова-
ги дорівнює нулеві і згідно з теоремою є мінімальною, то зав-

253