Page 228 - 79

Динаміка точки змінної маси

Проінтегрувавши отримане рівняння, враховуючи почат-
кові умови (для t  0 , V  0 m,  m ) і те, що V r  const , ма-
0
тимемо формулу
m
V  V r ln 0 , (3.234)
m
яка визначає закон зміни швидкості розглядуваного тіла. З неї
випливає, що найбільшу швидкість V max матиме тіло в кінці
процесу викидання частинок. Якщо позначити через m масу
k
тіла в кінці процесу викидання частинок, то для V max отрима-
ємо
m
V max  V  V r ln 0 . (3.235)
k
m k
Ця формула вперше була отримана К.Е.Ціолковським і
опублікована в 1903 р. З отриманої формули видно, що кінце-
ва швидкість ракети не залежить від закону зміни її маси, тоб-
то режиму роботи двигуна.
Формулу (3.235) часто записують у вигляді
V  V ln z , (3.236)
k r
де відношення
m
z  0 (3.237)
m k
у світовій технічній літературі отримало назву числа Ціол-
ковського. Якщо початкову масу тіла записати у вигляді суми
двох доданків m  m  m , де m – маса, що відділилась в
n
k
0
n
процесі польоту (для ракети це маса палива), то для числа Ці-
олковського отримаємо формулу
m  m m
z  k n  1  n . (3.238)
m k m k
З отриманих формул легко підрахувати число Ціолковсь-
кого для досягнення ракетою першої космічної швидкості
( V  7,8 км с ), щоб стати штучним супутником Землі. В су-
часних ракетах використовується хімічне паливо, ефективна

221