Page 174 - 79

Теоретична механіка. Динаміка

Враховуючи залежність (3.180), в загальному випадку ча-

r 
стинна похідна i залежить від часу і від усіх узагальнених
q  k
координат q , k  1 ,2 , ...,  s . Тоді, взявши від неї похідну за
k
часом, матимемо
 2  2 
d r   r s  r
i
 i   i q  . (б)
dt q  t  q  j  q q  j
k k 1 k j
Оскільки праві частини рівностей (а) і (б) рівні між со-
бою, то відповідно рівні і їх ліві частини, тобто:
 
d r  i  V i
 . (3.185)
dt  q k  q k
Рівності (3.184) і (3.185) називаються тотожностями Ла-
гранжа. Вони широко використовуються в аналітичній меха-
ніці. До того ж друга тотожність, якщо її записати у вигляді


d r  i  r d i
  ,
dt q  k q  k dt
означає, що операції диференціювання за часом і частинна
похідна за узагальненою координатою взаємно комутати-
вні.

§ 28 Поняття про простори

Теоретичні викладки аналітичної механіки інколи вима-
гають наочного зображення положення або стану механічної
системи. Для цього вводяться поняття простору конфігурацій
і фазового простору.
Простором конфігурацій називається декарто-
вий s–мірний простір, координатами якого є уза-
гальнені координати. Інколи цей простір нази-
вають координатним.
Для системи з трьома ступенями вільності простір конфі-
гурацій — це простий тримірний декартовий простір (рис.67).
Якщо до s -мірного простору конфігурацій додати вісь часу,

46