Page 138 - 79

Загальні теореми динаміки

де J  J ,  J ,  — моменти інерції тіла відносно його головних
осей інерції в точці 0;
n  n  n 
e
 M   ,F i e  M   ,F i e  M    — суми моментів (го-
F
i
i1 i1 i1
ловні моменти) зовнішніх сил, прикладених до тіла, відносно
цих осей;  ,    ,  — проекції вектора кутової швидкості

тіла на дані осі. Ці проекції визначаються кінематичними рів-
няннями Ейлера (формули (2.78), част. 1 § 47.3)
    sin sin     cos ;


    sin cos   sin ;  (3.142, б)

    cos   ,  

де  ,   , — кути Ейлера, які визначають положення тіла в
сферичному русі (див. ч. 1, § 47).
Диференціальні рівняння (3.142, а) обертання твердого
тіла навколо нерухомої точки називаються динамічними рів-
няннями Ейлера (Д-9). Приєднуючи до них кінематичні рів-
няння Ейлера (3.142, б), отримуємо повну систему рівнянь,
необхідних для розв’язування задач динаміки твердого тіла,
що має одну нерухому точку.
Інтегрування динамічних рівнянь Ейлера пов’язане з ве-
ликими труднощами. Тому дослідники динаміки твердого тіла
з нерухомою точкою розглядали лише окремі випадки. Най-
більш суттєві результати з цього питання можна знайти в
роботах Л.Ейлера (Д-9), Ж.Лагранжа (Д-15), С.Ковалевської
(Д-13). Теорія обертання твердого тіла навколо нерухомої то-
чки лежить в основі теорії гіроскопів, які отримали широке
застосування в різних галузях техніки.

§ 21 Диференціальні рівняння руху вільного тіла

З кінематики відомо (див. 2.1, § 48), що рух вільного
твердого тіла можна розглядувати як сукупність двох його ру-
хів: поступального разом з деякою довільною його точкою,
яка називається полюсом, і обертального навколо цієї точки.

63