Page 68 - 6832

ПРИКЛАДИ ТА ЗАВДАННЯ

Приклад 1. Визначити способом найменших квадратів параметри А і В залежності: Δ=А+В·R Z.
Значення величин представлені в таблиці 1.
Таблиця 1
i R Z,мкм Δ i R Z,мкм Δ
1 0,072 2,8 7 0,140 3,0
2 0,080 2,6 8 0,140 3,4
3 0,112 3,2 9 0,183 3,7
4 0,120 2,9 10 0,208 4,1
5 0,130 3,1 11 0,241 4,5
6 0,136 3,4 12 0,268 4,8

Систему рівнянь одержуємо підстановкою табличних даних в рівняння залежності:
А+В·(R z)i=Δ i, і=1,2,……12.
Таким чином, число (n) рівнянь дорівнює дванадцяти, число (m) невідоме двом (А і В). В
позначеннях Гаусса система нормальних рівнянь має вигляд:
€
€
 [a 2 1 i ]A  [ aa 1 i 2 i ]B  [ la i 1 i ]


€
€
[ aa 1 i 2 i ]A [a 2 2 i ]B  [a i 2 i ] l

де А і В - оцінки параметрів, що відшукуються а і1=1, а і2=(R z)і, l i=Δ i .
Приклади обчислення коефіцієнтів у системі наведені в таблиці 2.
Таким чином, [a 2 ]  12 [ ; a 2 ]  . 0 319782 [ ; a a ]  . 1 830 [ ; a l ]  41 [ ; 5 . a l ]  . 6 7782
1 i 2 i 1 i 2 i i 1 i i 2 i
Для системи нормальних рівнянь одержуємо:
€
 €  830.1 B  41 5 .
 12A

€
€
 830.1 A  319782.0 B  7782.6

Таблиця 2

2
2
i a a a a a a l a l a l
2 i
2 i
i
1 i
i
i
1 i
1 i
2 i
1 i
2 i
1 1 1 0,072 0,005184 0,072 2,8 2,8 0,2016
2 1 1 0,080 0,006400 0,080 2,6 2,6 0,2080
3 1 1 0,112 0,012544 0,112 3,2 3,2 0,3584
4 1 1 0,120 0,014400 0,120 2,9 2,9 0,3480
5 1 1 0,130 0,016900 0,130 3,1 3,1 0,4030
6 1 1 0,136 0,018496 0,136 3,4 3,4 0,2624
7 1 1 0,140 0,019600 0,140 3,0 3,0 0,4200
8 1 1 0,140 0,019600 0,140 3,4 3,4 0,4760
9 1 1 0,183 0,033489 0,183 3,7 3,7 0,6771
10 1 1 0,208 0,043264 0,208 4,1 4,1 0,8528
11 1 1 0,241 0,058081 0,241 4,5 4,5 1,0845
12 1 1 0,268 0,071824 0,268 4,8 4,8 1,2864
Суми 12 0,319782 1,830 41,5 6,7782

€
€
звідки знаходимо оцінки A  . 1 7746 ;B  11 . 0411
В загальному вигляді вирішення системи нормальних рівнянь запишемо
[ la ][a 2 ] [a l ][a a ]
€
A  i 1 i 2 i i 2 i 1 i 2 i
[a 2 ][a 2 ] [a a ] 2
1 i 2 i 1 i 2 i

2
l
€
B  [a i 2 i ][a 1 i ] [ la i 1 i ][ aa 1 i 2 i ]
[a 2 ][a 2 ] [a a ] 2
1 i 2 i 1 i 2 i
67