Page 17 - 6832

Тема2. Статистична перевірка гіпотез

1 Поняття статистичної гіпотези. Припустима і критична області. Статистичний критерій

При опрацюванні випадкових величин на відміну від детермінованих, можна зробити тільки
припущення щодо їхнього походження, тобто висунути гіпотезу.
Статистичною гіпотезою називається будь-яке припущення щодо виду або властивостей
розподілу спостережуваних в експерименті випадкових величин. Сутність перевірки статистичної
гіпотези полягає в тому, щоб установити, узгоджуються чи ні результати спостережень та висунута
гіпотеза, чи можна розбіжність між гіпотезою та результатом вибіркових спостережень віднести за
рахунок похибки, зумовленої механізмом випадкового відбору.
Гіпотези бувають прості і складні.
Проста гіпотеза має тільки одне твердження.
Приклад. Параметр θ має одне конкретне значення (θ = θ 0).
Складна гіпотеза складається з безлічі простих гіпотез.
Приклад. Параметр θ має деяке значення із сукупності
(   ;   ;   )
0 0 0
Гіпотезу, що висувають, називають основною гіпотезою. У зв'язку з тим, що вона найчастіше
полягає у передбаченні відсутності систематичної розбіжності (нульової розбіжності) між невідомим
параметром генеральної сукупності й заданою величиною, то її також називають нульовою
гіпотезою і позначають Н 0. Зміст гіпотези записують після двокрапки. Так, у розглянутому прикладі
Н 0: θ = θ 0.
Зазвичай формулюють ще й альтернативну (конкуруючу) гіпотезу Н 1. У результаті перевірки
можна приймати тільки одну з гіпотез Н 0 або Н 1 , відхиляючи водночас іншу.
Гіпотезу перевіряють статистичними методами на підставі вибірки, отриманої з генеральної
сукупності. Через випадковість відхилень значень у вибірці в результаті перевірки можуть виникати
помилки й прийматися неправильне рішення. Коли рішення не відповідає справжньому стану,
можуть виникнути помилки двох видів.
Помилка першого роду має місце тоді, коли відхиляється правильна гіпотеза Н 0.
Помилка другого роду полягає в тому, що приймається гіпотеза Н 0, коли правильною є
альтернативна гіпотеза.
При перевірці гіпотез може виникнути одна із чотирьох ситуацій:
— гіпотеза Н 0 правильна й вона приймається;
— має місце гіпотеза Н 0, однак приймається неправильна гіпотеза Н 1 (помилка першого роду);
— має місце гіпотеза Н 1 , однак приймається неправильна гіпотеза Н 0 (помилка другого роду);
— гіпотеза Н 1 правильна й вона приймається.
Здебільшого наслідки зазначених помилок нерівнозначні. Одна з помилок приводить до більш
обережного, консервативного рішення, інша - до невиправданих дій. Що краще, що гірше —
залежить від конкретної постановки задачі і змісту нульової гіпотези. Природним є прагнення
зменшити втрати від обох помилок одночасно. Але, як ми побачимо далі, вони є конкуруючими, і
зменшення ймовірності появи однієї з них призводить до збільшення ймовірності появи іншої. Таким
чином, необхідно вибирати компромісне рішення. Ухвалення рішення грунтується на деякому
статистичному критерії.
Статистичним критерієм називається певне правило обробки статистичного матеріалу
(результатів дослідження), на підставі якого одна з гіпотез приймається, а всі інші відхиляються.
Кожен критерій має свою числову характеристику, що називається потужністю. Функцією
потужності критерію називається ймовірність того, що основна гіпотеза Н 0 відхиляється, тоді як
альтернативна гіпотеза приймається. Чим більша потужність критерію, тим менша ймовірність
здійснення помилки 2-го роду.
Рішення приймається за значенням деякої функції вибірки, яка називається статистикою, або
2
статистичною характеристикою (z, t, χ ).
Для того щоб прийняти або відхилити передбачувану гіпотезу, потрібно вибрати межу
припустимих при висунутій гіпотезі відхилень від математичного сподівання, тобто призначити таке
критичне відхилення, перевищення якого при висунутій гіпотезі настільки малоймовірне, що його
16