Page 96 - 6449

Прокоментуємо рівняння для Р і: ймовірність знаходження системи
в стані х і (і каналів зайнято) може змінитись завдяки таким подіям: система
перебувала в стані х і-1 і надійшла ще одна заявка на обслуговування
(доданок λ Р і-1(t)), система була в стані х і і наступила подія, пов’язана з
тим, що одна із заявок завершила обслуговування і покинула систему або
прийшла ще одна заявка на обслуговування (доданок – (іμ+λ) Р і(t)), і,
нарешті, система перебувала в стані х і+1 і одна із заявок покинула систему
після завершення її обслуговування. Перше і останнє рівняння мають іншу
форму через те, що у станів х 0 та х 4 менше факторів, які можуть змінити
ймовірності Р 0 та Р 1. Система (5.7) доповнюється такими умовами:

P ) 0 (  , 1 P ) 0 (  P ) 0 (  ...  P ) 0 (  0 (5.8)
0 1 2 n
Записана нами система рівнянь (5.7) з початковими умовами (5.8)
називається системою рівнянь Ерланга. Вона може бути про інтегрована
відносно простимим способами. Слід зазначити, що в системі (5.7)
коефіцієнти можуть бути функціями від часу, головною вимогою
залишається лише показниковий закон розподілу вказаних випадкових
величин.
Слід зазначити, що при вивченні реальних СМО можна підмітити
таку обставину: при тривалому функціонуванні СМО спостерігається
явище стабілізації ймовірностей, які при t  виходять на стабільний
режим. Дійсно, будь-який водій таксі легко може вказати скільки
пасажирів він провозить щодоби в середньому, скільки викликів
фіксується в середньому по місту за робочий день тощо. Явище
стабілізації полягає в тому, що значення відповідних похідних у (5.7)
дорівнюють нулю. Таким чином, система (5.7) набуває вигляду:
 p 0   p 1  0
 .......... .......... .......... .......... .......... .......... .....


 p i 1  (i  )p i  (i  )1  p i 1  0 . (5.9)
 .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......

 p n 1  n p n  0

Система (5.9) є системою лінійних алгебраїчних рівнянь з нульовою
правою частиною, тобто, однорідною системою рівнянь. Якщо визначник
матриці цієї системи не дорівнює нулю, то її розв’язок має вигляд:
p  p  p  ...  P  p  0 , (5.10)
0 1 2 n  1 n
що не відповідає реальній картині модельованої СМО. З цією метою одне з
рівнянь (5.9) залишають очевидним співвідношенням:
p  p  p  ...  P  p  1 (5.11)
0 1 2 n 1  n .
З першого рівняння одержуємо:

p  p (5.12)
1 0

З другого: p  (   ) p  2 p  0
0 1 2

96