Page 95 - 6449

5.3 Системи масового обслуговування з відмовами
На вхід СМО, яка складається з n каналів обслуговування однакової
продуктивності, надходить потік об’єктів зі щільністю λ. Середній час
обслуговування є випадковою величиною, що описується показниковим
законом розподілу з параметром μ, з густинами розподілу відповідно (5.4)
та (5.5). Якщо об’єкт, що надійшов у систему застає всі канали
обслуговування зайнятими, то він покидає систему, і його нове звертання в
систему на обслуговування не залежить від попереднього. Якщо ж об’єкт
виявляє вільний канал обслуговування, то він поступає на обслуговування
і обслуговується до кінця.
Система масового обслуговування з відмовами має n+1 можливий
стан:
– x – всі канали вільні;
0
– x – 1 канал зайнятий;
1
– x – два канали зайняті;
2
– x – зайняті рівно n каналів.
n
Схема переходів системи із стану в стан є такою (з урахуванням
того, що за достатньо малим проміжком часу Δt обмін можливий лише між
сусідніми станами):
λ λ λ λ λ
.... .....
x0 x1 xi-1 xi xi+1 xn-1 xn
μ μi
μ(i+1) μ(i+2) μn
Рисунок 5.1 – Система масового обслуговування з відмовами

Кожен із станів системи характеризується деякою ймовірністю.
Розглядаючи зміну нерівностей знаходження системи в кожному із станів і
беручи до уваги очевидні співвідношення при Δt→0:

e  t  1   t  (o  )t

  t (5.6)
e  1   t  (o  )t ,


можна одержати таку систему диференціальних рівнянь:
dP (t )
0   P (t )  P (t )
 dt 0 1

 .......... .......... .......... .......... .......... .......... .....
 (t )
dp
 i  P i 1 (t )  (i  )P i (t )  (i  )1 P i 1 (t ) . (5.7)
 dt
.......... .......... .......... .......... .......... .......... .......

 dP n (t )  P ) (t  nP (t )
 dt n 1 n


95