Page 79 - 6449

 f m g i
 x    i x  0 j  ,...,1 n
 j  i 1 j

g ( x ,..., x )  b i i  ,...,1 m (3.23)
i
n
1
  g ( x ,..., x )  b   0 i  ,...,1 m
 i i 1 n i
  0 i  ,...,1 m
 i
Знак λ і змінюється на протилежний, якщо розглядається максимум).
Ці умови є відомими, як умови Куна-Такера.
Приклад 6. Написати умови Куна-Такера для мінімуму функції
2
f (x , x )  3x  4 xx  5x при обмеженнях x  ; 0 x  0 та x  x  4.
1 2 1 2 2 1 2 1 2
Функція Лагранжа записується у вигляді:
L  3x 2  4 xx  5x 2   (u 2  x )   (u 2  x )   (u 2  x  x  ) 4
1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 3 3 1 2
Необхідними умовами мінімуму є:
L
 6x  4x      0
x 1 2 1 3
1
L
 4x  10x      0
x 1 2 2 3
2
 x  ; 0  x  ; 0  x  x   ; 4
1 2 1 2

 x  ; 0  x  ; 0  4 (  x  x )  ; 0
1 1 2 2 3 1 2
 ; ;  ; 0
1 2 3
виходячи з допущення х 1≠0; х 2≠0 одержуємо:
    ; 0   0  x  x  4
1 2 3 1 2 .
Таким чином, одержуємо систему розв’язків:

6  x  4 x   3  0 6 x  4 x  4 x  10 x 2
2
2
1
1
1

1
2
2
2
2
1
1
 4 x  10 x   3  0 2 x  6 x  x  3 x  4 x  4
x  x  4 x  x ; 1 1  ; 3  3  22
2
1
2
Як видно з умови Куна-Такера, справедливі при х 1=3; х 2=1; λ 1=0, λ 2=0,
2
2
λ 3=-22, отже, f  3 3  4 1 3 5 1  27  12  5  44
min

3.5 Методи пошуку екстремуму без використання похідних
функцій
Наведені вище методи знаходження екстремуму базуються на
використання апарату диференціального числення. Отже, функція, що
оптимізується, повинна мати похідну, частинну похідну першого та
другого порядку. В той же час при проведенні експериментальних
досліджень функція, для якої необхідно визначити екстремальне значення,
може бути розривною недиференційованою, її значення в певній точці
може бути результатом фізичного експерименту. У такому випадку
важливо не просто знайти екстремум, але й зробити це, використавши
якомога менше значень функції.

79