Page 75 - 6449

1 Метод заміни змінних
Цей метод може бути використаний, якщо система (3.12) може бути
розв’язана відносно деякого набору змінних і подана у вигляді:

~
x 1  g 1 (x m 1 ,...,x n )  0
 ~
x
 2  g 2 (x m 1 ,...,x n )  0
 . (3.13)
 .......... .......... .......... .
~
 x  g (x ,...,x )  0
 m m m 1 n
У такому випадку підставляємо змінні x 1,…x n в цільову функцію
(3.11) та використовуємо при цьому одержані співвідношення (3.13). Після
приведення подібних величин функція (3.11) стає функцією змінних
x m+1,…x n, яку досліджують на екстремум за методикою викладеною, в
пункті 3.2.
Приклад 3. Знайти екстремум функції:
2
2
f ( x, y)  x  2 xy  2 y  x 3
за умови -x y  1.
Оскільки x  y  1, то:
2
f (x , y )  f ( y , 1 y )  ( y ) 1  ( 2 y  ) 1 y  2y 2  ( 3 y  ) 1 

 y 2  2 y 1 2y 2  2 y 2y 2  3 y 1  5y 2  7 y 4
f (y )  5y 2  7 y 4
1
 7
f (y )  10 y 7  , 0 y   , точка мінімуму (“парабола гілками
1
10
вверх”),
49 49 245 49 400 155
f  5   4    
min
100 10 100 10 100 100 .
Екстремум функції f(x,y) знаходиться в точці з координатами:
x=0,3; y=-0,7; f(0,3;-0,7)=1,55.
Проте розглянутий метод не є універсальним, оскільки далеко не
для всіх систем обмежень справедливим є подання (3.13), а в деяких
випадках підстановка (3.13) в (3.11) не призводить до спрощення виразу
(3.11). Тому було запропоновано інший, більш універсальний підхід.

2 Метод Лагранжа
Задача (3.11)-(3.12) розв’язується таким чином: будується
допоміжна функція, що дістала назву функції Лагранжа, і є функцією n+m
невідомих:
m
L( x , x ,..., x , , ,..., )  f ( x , x ,..., x )    g ( x ,..., x ) (3.14)
1 2 n 1 2 m 1 2 n i i 1 m
 i 1
Множники λ і є множниками Лагранжа. Задача на умовний
екстремум функції (3.11) за умов (3.12) зводиться до знаходження
безумовного екстремуму функції Лагранжа (3.14).

75