Page 78 - 6449

3.4 Умовний екстремум функції кількох змінних з
обмеженнями-нерівностями
Всі розглянуті задачі з обмеженнями містить обмеження типу
рівності, проте в практичних моделях часто обмеження задачі подані у
вигляді систем нерівностей. Необхідно узагальнити підхід, пов’язаний з
використанням методу функції Лагранжа на випадок таких обмежень.
Розглянемо таку задачу:
Знайти екстремум функції:

f ( x , x ,... x )  ext (3.18)
1 2 n
за наявності обмежень:
g ( x , x ,... x )  b i 1 2 , ,..., m (3.19)
i 1 2 n i .
Зауважимо, що обмеження (3.19) завжди можна записати в такому
вигляді:

(  x , x ,... x )  c   ( x , x ,... x )   c
1 2 n 1 2 n .
Обмеження виду нерівності завжди можна подати у вигляді:
2
g ( x , x ,... x ) U  b (3.20)
i 1 2 n i i ,
при цьому U  0, U i – послаблююча змінна.
i
Таким чином, задача зводиться до мінімізації функції f(x 1,x 2,…,x n) за
наявності обмежень у вигляді (3.19). Будуємо функцію Лагранжа:
m
L( x ,... x , 1 ,..., m , b ,..., b )  f ( x , x ,... x )    g i U i 2  b i  (3.21)
n
n
m
1
2
1
1
 i 1
Необхідні умови екстремуму:

 L f m g i
 x  x    i x j  2,1 ,..., n
 j j  i 1 j
 2
 L
  g ( x ,..., x ) U i  b i  0 i  2,1 ,.., m (3.22)
i
n
1
  i
 L
  2 i U i  0 i  2,1 ,.., m
U i

Останню групу обмежень можна записати у вигляді:
 (b  g (x ,..., x ))  0
i i i 1 n
Умови (3.22) дозволяють зробити такий висновок: або λ і або b i-
g i(x 1…x n)=0. Якщо λ і≠0, то відповідна нерівність виконується строго. З
іншого боку, якщо обмеження є обмеженням у вигляді строгої нерівності,
то відповідний множник Лагранжа дорівнює 0.
Необхідні умови мінімуму функції f(x 1,x 2,…,x n) за наявності
обмежень (3.22) мають такий вигляд, що можна знайти x 1, x 2,…, x n та λ 1,
λ 2,…, λ n, для яких:

78