Page 76 - 6449

Безумовний екстремум функції L знаходить за відомою схемою:
спочатку знаходяться стаціонарні точки функції Лагранжа з умови:
 L
  ,0 j  ,...,1 n
 x j
 , (3.15)
 L  ,0 i  ,...,1 m
 
 i
причому останні т рівнянь в системі (3.15) співпадають з (3.12). Після
знаходження стаціонарних точок (x*,λ*) досліджується гессіан функції
Лагранжа, який будується у вигляді:
 2 
  L

G    , (3.16)
x i x j 


тобто при побудові гессіана не використовуються другі та змішані похідні
за змінною λ і. Після побудови гессіана знаходиться його значення в точках
(x*,λ*), і гессіани в цих точках досліджуються на знаковизначеність з
метою визначення типу екстремуму. В тих випадках, коли вдається знайти
аналітичний розв’язок системи (3.15), цей метод є досить універсальним,
хоча як і в попередніх випадках, часто для розв’язання (3.15) доводиться
застосовувати наближені методи розв’язку.
Приклад 4. Необхідно побудувати підвал, що має форму
3
паралелепіпеда без верхнього покриття. Об’єм підвалу 20 м (рис. 3.2),
вартість квадратного метра підлоги 6 одиниць, а вартість квадратного
метра стіни – 4 одиниці. Необхідно визначити розміри підвалу, за яких
його вартість буде мінімальною.

z y

x
Рисунок 3.2 – Схематичне зображення підвалу

Нехай x, y, z – відповідно ширина, довжина та висота підвалу. Тоді
загальна вартість складає:
S  2 ( zx  2zy )  4  xy 6  (3.17)
.
У залежності (3.17) враховано, що верхнього покриття немає.
Екстремум функції (3.17) необхідно шукати за умови:
20 20 160 160
V  xyz  20 S ( ) y , x  ( 8 x  ) y  6 xy    6 xy .
,
xy xy y x
Необхідні умови екстремуму:

76