Page 77 - 6449

S 160
   2  6 y 0  2
x x 6  yx  160 80
   2  x  y  y  x  3 ;
 S   160  6 x 0  6  xy  160 3
y y 2

20 20 3 9 3 90
z    .
6400 3 6400 2
3
9
Побудуємо гессіан:

 2 S 320  2 S
  6
x  2 x 3  x y

 2 S  2 S 320
 6 
 y x y  2 y 3

 80 80  12 6 
G  3 ; 3    
 3 3   6 12 
   
Оскільки, G 1>0; G 2>0 то вказана точка є точка мінімуму. Отже

3 90
80
мінімум вартості досягається при x  y  3 z ;  .
3 2
Приклад 5. Знайти розв’язок задачі на умовний екстремум:

f ( x, y)  x 3 y за умови x 2  y 2  25
.
Будуємо функцію Лагранжа: (xL , , y  )  x  3 y  (x 2  y 2  25 )
.
L  1  1  1
 x  1  2 x  0  x  2  x  2  x   2 10
   
L  3  3  3
  3  2 y  0   y    y    y  10
 y  2  2  2
 L 2 2  1 9  10  1
  x  y  25  0    25   25    
 4 2 4 2 4 2  10

10 3 10 1 10 3 10 1
Стаціонарні точки: (A ; ; ) та (B ; ; ).
2 2 10 2 2 10
Будуємо матрицю Гессе:

2
2
2
2
 L  L  L  L
 2   0  0  2 
x 2 x y y x y 2
 2   2 
 0  G  0  0  G  0
G ( B )   10  1 , (AG )   10  1
 2  G  0  2  G 2  0
2
 0    0 
 10   10 
А – точка мінімуму; В – точка максимуму.

77