Page 74 - 6449

 2 f 2 2  2 f
 12 x  4 y  8 xy
x  2  x y
 2 f  2 f 2 2
 8xy  12y  4x
 x y y  2
12x 2  4y 2 8xy 
G   
 2 2 
 8xy 12y  4x 
12  0
G ) 0 ; 1 (   
 
 0 4 
В матриці G головні мінори дорівнюють: G 1=12>0; G 2=48>0, тому
точка (1;0) є точкою мінімуму, f min=f(1;0)=0.
Зауваження 1. Умови екстремумів формулють часто і в
еквівалентній формі: в точці локального строгого мінімуму квадратична
форма на малих приростах змінних, що входить в розклад функції в ряд
Тейлора є додатно визначеною, а в точці максимуму – від’ємно
визначеною.
Зауваження 2. Якщо умови знаковизначеності матриці Гессе в
стаціонарній точці x s не виконуються , тобто головні мінори матриці G
мають знаки, які не відповідають умовам максимуму або мінімуму, то в
точці x s немає екстремуму (наприклад вона може бути сідловою точкою
функції).

3.3 Умовний екстремум функції кількох змінних з
обмеженнями-рівності
У багатьох випадках при вирішенні задач нелінійного
програмування виникає необхідність знайти екстремум функції кількох
змінних за наявності за на явності деяких додаткових умов, накладених на
змінні, що входять в задачу. Такі задачі називаються задачами на умовний
екстремум. Ця задача формується наступним чином: знайти екстремум
функції:
f ( x , x ,..., x )  ext (3.11)
1 2 n
за умови:
 (xg , x ,...,x )  0
1 1 2 n

 g 2 (x 1 , x 2 ,...,x n )  0
 . (3.12)
 .......... .......... .......... .
 g (x , x ,...,x )  0
 m 1 2 n
При розв’язанні задачі такого роду можливі два способи вирішення
задачі.

74