Page 73 - 6449

  2 f  2 f  2 f 
 ... 
 x  1 2 x  1 x  2 x  1 x  n 
  2 f  2 f  2 f 
 ... 
G  x  x  x  2 x  x  (x ). (3.9)
 1 2 2 2 n  s
 ... ... ... ... 
  2 f  2 f  2 f 
 ... 2 
 x  1 x  n x  2 x  n x  n 
Матриця Гессе в кожній точці G(x s) є числовою матрицею, хоча в
загальному випадку (3.9) є функціональною матрицею, оскільки будь який
її найменший елемент є функцією n змінних:
 2 f
  ij (x 1 ,..., x n ). (3.10)
x  x 
i j
Точка X є точкою строгого локального мінімуму функції
S

f(x 1,…,x n) якщо вона задовольняє системі (3.9), а матриця G(x s), порахована
в цій точці, є додатньо визначеною матрицею.

Точка X є точкою строгого локального максимуму функції,
S
якщо вона задовольняє системі (3.9), а матриця G(x s), порахована в цій
точці, є від’ємно визначеною матрицею.
Матриця G називається додатньо визначеною, якщо кожен її
головний мінор до порядку n включно є додатнім.
Матриця G називається від’ємно визначеною матрицею, якщо
перший її головний мінор є від’ємним, а кожен наступний головний мінор
змінює знак.
Головним мінором матриці порядка k називається визначник
матриці, одержаної в перетині перших k рядків та k стовпчиків матриці.
Як і у випадку найпростіших задач лінійного програмування, при
знаходженні екстремуму функції кількох змінних виникає проблема
пов’язана з розв’язанням нелінійної системи (3.8), тому і в даному випадку
використовуються чисельні методи знаходження розв’язку системи
нелінійних рівнянь.
Приклад 2. Знайти екстремум функції (xf , y )  x 4  y 4  2x 2 y 2  4 x 3
.
Необхідні умови екстремуму:
f 3 2
  4x  4xy  4  0
x

 f  4y 3  4x 2 y  0
y

x 3  xy 2 1  0 x 3  xy 2 1  0   1x


 2 2   2 2  
 (yy  x )  0   (0 xy  y  )0  y  0


Таким чином, функція f(x,y) має єдину стаціонарну точку (1;0).
Побудуємо гессіан матриці:

73