Page 71 - 6449

Приклад 1. У канал шириною а повинно ввійти судно з річки, що
має ширину b, причому русло річки та каналу є взаємно
перпендикулярними (рис. 3.1). Встановити, якої максимальної довжини
судно може ввійти в канал.
B

b
α
β
A a

Рисунок 3.1 – Схематичне зображення русла ріки

Для того щоб розв’язати вказану задачу, необхідно ввести параметр
оптимізації або змінну, за якою знаходять екстремум певної величини. В
даному випадку це буде зображений на схемі кут α. В такому випадку для
того, щоб визначити, якої максимальної довжини судно може ввійти в
канал, необхідно визначити, якої мінімальної довжини може бути відрізок
АВ. Виходячи з даних задачі, можливо знайти довжину відрізка АВ:
a b
AB  AO  OB   (3.4)
sin  sin 
Зі схеми визначається, що:
  90 -  ,
тому:
a b
AB   , (3.5)
cos  sin 
тому задача зводиться до пошуку екстремуму функції:
a b

f (x )   0 ,     90 .
cos  sin 
Далі функція f(x) стандартним способом досліджується на
екстремум:

3 3
a  sin b  cos a  sin   b  cos 
f ) x (     0   0 
2 2 2 2
cos  sin  sin   cos 
3 3 3 6
 a  sin   b  cos   0  tg  
a
b
tg  3
a
Очевидно, що вказана точка є точкою мінімуму, тому що при
значеннях α, близьких до нуля f ́(x)<0 (бо sinα→0; cosα→1), а при
значеннях α близьких до 90º, f ́(x)>0, бо в такому випадку sinα→1;
cosα→0. Таким чином, визначимо при якому значенні α, довжина відрізка
АВ є найменшою. Визначимо вказану довжину: для цього необхідно

71