Page 70 - 6449

РОЗДІЛ 3. НЕЛІНІЙНЕ ПРОГРАМУВАННЯ

3.1 Найпростіші задачі нелінійного програмування
У першому розділі розглянуто задачу лінійного програмування,
при вирішенні яких знаходяться екстремуми лінійних функцій при
лінійних же обмеженнях. Незважаючи на те, що ці задачі описують
достатньо широкий клас моделей в економіці, техніці, організаційних
системах, вони все ж не можуть описати всі інші моделі процесів та явищ,
що вивчаються дослідниками систем на предмет їх оптимізації [3]. Всі
інші екстремальні задачі, в яких знаходяться оптимальні значення
нелінійних функцій з нелінійними обмеженнями, або ж нелінійним є хоча
б один із вказаних об’єктів, складають предмет нелінійного
програмування. Розглянемо точні методи знаходження екстремуму

цільових функцій у задачах такого типу.
Найпростішою задачею нелінійного програмування є задача
знаходження екстремуму нелінійних функцій, методами диференціального
числення. Зрозуміло, що не завжди при вирішенні екстремальних задач
необхідно використовувати диференціальне числення: наприклад, для
знаходження екстремуму функції
y  x 2  6 x 13 (3.1)
немає потреби залучати диференціальне числення: доцільно подати у
вигляді
y  ( x  ) 3 2  4 (3.2)
і зразу розв’язок задачі є очевидним: найменше значення y min=4 лише в
2
тому випадку, коли (x+3) =0, тому y min=4 при х=-3.
Проте вказаний приклад ілюструє найпростішу задачу пошуку
екстремуму. У загальному випадку, як відомо з курсу математичного
аналізу, для знаходження екстремуму функції з однією змінною f(x),
необхідно знайти стаціонарні точки цієї функції з рівняння:

f (  x )  0 , (3.3)
після чого перевірити, чи змінюється в стаціонарних точках знак першої
похідної. Якщо в стаціонарній точці знак похідної змінюється з “+” на “–”,
то це точка максимуму, а якщо знак змінюється з “–” на “+”, то в такому
випадку вказана точка є точкою мінімуму. Очевидно, що функція на
відрізку пошуку екстремуму повинна бути неперервною та
диференційованою в кожній точці цього відрізку, це досить сильне
обмеження на використання методу. Крім того, для складних нелінійних
функцій, які є диференційованими та неперервними на всьому відрізку
пошуку, знаходження розв’язку (3.3) вимагає застосування спеціальних
чисельних методів. Проте цей метод є досить поширений при розв’язанні
практичних задач.

70