Page 69 - 6245

причому lim → ( ( )/ φ ′(x)) = 0 0 =lim → ( ′( )/φ′(x).

Довизначимо функції f(x) і φ(x) у точці а нульовим

значенням f(a) = φ (a) =0 і отримаємо функції (x) та φ (x) , що
∗
∗
задовольняють теоремі Коші на відрізку [a;x] , де x – довільна фіксована
точка з вище вказаного околу, відмінна від а.

Застосовоючи теорему Коші, маємо

( (x)- (a))/(φ (x)-φ (a))= (c)/ φ (c), де a<c<x.
∗
∗
∗
∗
∗
∗

Але f(a) = φ(a) = 0 i (c) = (c), φ (c) = φ (c). Тому
∗
∗

f(x) / φ(x) = (c) / φ (c).
Коли x → , то і с → , оскільки a<c<x. Тоді якщо
lim → ( ′( )/φ′(x))=A, то lim → ( ′( )/φ′(x)) теж існує і дорівнює А.
Звідси lim → ( ( )/φ(x))= lim → ( ′(с)/φ′(с))=
lim с→ ( ′(с)/φ′(с))= lim → ( ′( )/φ′(x))=А.
Отже, lim → ( ( )/φ(x))=0 0= lim → ( ′( )/φ′(x))
Зауваження 1. Якщо границя (скінченна чи нескінченна)

відношення похідних не існує, то правило Лопіталя застосовувати не можна.
Але це не свідчить про те, що границя відношення самих функцій не існує.

Наприклад,

f(x)= sin (1/ ); (x)= 2xsin(1/x)-cos(1/x); φ(x)=x;

( / )
( )

φ (x)=1; lim → ( ) = lim → – не існує, але

( ) ( / )
lim → ( ) =lim → = = lim → sin (1/ )=0.

Зауваження 2. Правило Лопіталя можна застосовувати по-

вторно, але потрібно кожного разу перевіряти, чи не розкрилася
невизначеність.

Зауваження 3. Для розкриття невизначеності виду ∞∞ використовується
теорема, аналогічна правилу Лопіталя для невизначеності виду 0 0:

lim → ( ( )/ φ(x)) =∞ ∞=lim → ( ( )/φ ( )).
Зауваження 4. Для спрощення обчислень слід правило Лопіталя суміщати з
іншими методами знаходження границь.

65