Page 52 - 6245

2) Якщо y = u±v, то y'= (u±v) '= u' ±v',

тобто похідна суми або різниці функцій дорівнює відповідно сумі або різниці
їх похідних;

3) Якщо y = uv ,то y'=(uv)'=u'v + uv',

тобто похідна добутку двох функцій дорівнює сумі добутків похідної першої
функції на другу функцію і похідної другої функції на першу;

4) Якщо y = , де v ≠ 0, то y'=

тобто похідна частки двох функцій дорівнює дробу, у якому знаменник є
квадрат знаменника , а чисельник є різниця між добутками похідної

чисельника на знаменник і добутком похідної знаменника на чисельник.

Кожне з цих правили можна розглядати як теорему.

Доведемо, наприклад, правило для дробу y = . Якщо ∆y, ∆u і ∆v є прорости

функцій y(x) , u(x) , v(x) , відповідні приросту ∆x аргумента x, то

y + ∆y = ( + ∆ )/( + ∆ ),

∆y = (u +∆u) / (v+∆v) – u / v = (v∆u - u∆v) / (v(v+∆v).

Останню рівність розділимо на ∆х:

∆y / ∆x = (v∆u - u∆v) / (∆x v(v + ∆v)) =

=(v∆u / ∆x – u∆v/ ∆x) / (v(v + ∆v)).

Знайдемо границю цього співвідношення. Мажмо:

∆u ∆v ∆u ∆v
lim (
∆y ∆ → ∆x − ∆x ) lim − lim
∆ → ∆x
∆ → ∆x
= lim = =

∆ → ∆x lim ( ( + ∆v)) + lim ∆v
∆ → ∆ →
Так як v(x) – диференційована і, отже, неперервна функція, то
lim ∆ → ∆v = 0.

Маємо y'= , де v ≠ 0.

Теорема 1(похідна складеної функції). Якщо функція u = u(x) має
похідну в деякій точці x∈(a;b), а функція y=f(u) має похідну у відповідній
точці u = u(x), то й складена функція y=f(u(x) має похідну в точці х, причому

48