Page 53 - 6245

y x′= (f(u(x)) ′=y u′(u) u x′(x),

де індекси у і х біля похідних вказують, за яким аргументом обчислюють
похідні. Тобто похідна складеної функції дорівнює похідній зовнішньої

функції за проміжним аргументом, помноженим на похідну внутрішньої
функції

Зауваження. Якщо складена функція є результатом цілого ряду суперпозицій,
то для знаходження її похідної за проміжком

∆ ∆ ∆ ∆ → 0 ∆ ∆
y x = lim ∆ → = lim ∆ → ∙ = = lim ∆ → ∙ lim ∆ → =
∆ ∆ ∆ ∆ → 0 ∆ ∆

y x' ∙ u x'

аргумент треба взяти результат всіх цих суперпозицій, крім останньої.

Теорема 2(похідна оберненої функції). Нехай функція y=f(х)

задовольняє умові існування оберненої функції і у у точці x∈(a;b) має
-1
скінченну і відмінну від нуля похідну. Тоді обернена функція х=f (у) у
відповідній точці y=f(х) також має похідну. Похідні цих взаємозвязаних

функцій зв’язані рівністю

( ) = lim ∆ = lim 1 = ∆ → 0 = lim 1 = 1 = 1

∆ → ∆ ∆ → ∆ ∆ → 0 ∆ → ∆ lim ∆ ′( )
∆ ∆ ∆ → ∆

6.3. Основні формули диференціювання

Похідні елементарних функцій подано всі разом (табл.5, де u = u(x)), а потім
вибірково доведені деякі з них.

Таблиця 5

Формули похідних

1. Основні формули

№ Функція Похідна

п/п

49