Page 51 - 6245

Відношення ( ( + ∆ ) − ( )/∆ = дорівнює дангенсу кута

нахилу січної МN дор додатного напряму осі О .
Якщо приріст ∆ → 0, то геометрично це означає, що точка N ( +

∆ ; у + ∆у) рухатиметься по лінії L, наближаючись до точки М, а кут

прямуватиме до кута −кута нахилу дотичної до додатного напряму осі

О .Тоді

lim [( ( + ∆ ) − ( ))/∆ ] = lim

∆ → ∆ →
Оскільки границя лівої частини рівності дорівнює ′ = ( ),а

границя правої частини дорівнює , тому

tg a 0 = y 0', тобто значення похідної функції f ' (x), у точці x 0 ,дорівнює
тангенсу кута нахилу дотичної.

Тоді рівняння дотичної до графіка функції y = f(x) ,яка проходить через

точку М з координатами (x 0 ; y 0), можна записати у вигляді

– = ′ ( − )

Пряма MQ,яка проходить через точку дотику М і перпендикулярна до
дотичної МК, називається нормальною прямою (нормаллю). ЇЇ рівняння

1
– = − ( − )

2
Приклад 2. Знайти кут нахиту дотичної до графіка функції y = x у точці
М(1/2;1/4). Скласти рівняння дотичної.

2
Візьмемо похідну від функції y = x : y' = 2x. Тоді: tga = y' (x 0-
)=2(1/2)=1;

a = arctg1 = 45° - кут нахилу дотичної; y – 1/4 = 1(x - 1/2); y = x – 1/4 –
дотична

6.2. Правила диференціювання.

Похідна складеної та оберненої функції

Правила диференціювання. Нехай маємо деякі функції u = u(x) , v = v(x), які
диференційовані у проміжку (a;b). Тоді:

1) Якщо y = cu , то y' = (cu) ' = cu' , де c = const

тобто сталий множник можна виносити з-під знаку похідної;

47