Page 50 - 6245

а) в довільній точці ; б) коли = −3.

б) для будь-якого маємо = . Якщо аргумент дорівнює + ∆ , то

у + ∆у = ( + ∆ ) . Звідси

∆у = ( + ∆ ) − = 2 ∆ + (∆ ) .
∆ ∆ (∆ )
Тоді = = 2 + ∆ . Обчислимо похідну
∆ ∆

= lim ∆ → (2 + ∆ ) = 2 .
б) = 2 ∙ (−3) = −6.

Фізичний зміст похідної. Нехай матеріальна точка рухається під дією
деяких сил. Візьмемо який небуть момент часу і розглянемо проміжок часу

∆ від моменту до моменту

= + ∆ . За цей проміжок часу точка пройде певний шлях, який

позначимо через ∆ ( ). Цей шлях – функція ∆ . За відомим з фізики

означенням, віношення ∆ ( )∆ є середня швидкість руху точки за час ∆ .

Розглядатимемо дедалі коротші проміжки ∆ , що прямують до нуля. Границя
∆ ( )

lim = ∆ ( ) = ( )
∆ → ∆
є миттєвою швидкістю точки у момент часу .

Геометричний зміст похідної. Дотична і нормаль. Нехай дано деяку
лінію L і на ній точку М (рис. 56). Візьмемо на лінії L деяку точку N, яка не

збігається з точкою М. Пряма М N є січною для лінії L. Нехай тепер точка N
наближається до точки М.
Залишаючись на лінії L. Тоді кожному положенню точки N відповідатиме

своя січна і усі ці січні проходитимуть через точку М.

Дотичною до лінії L у точці М називається

граничне положення МК січної МN, якщо
точка N прямує до точки М. Нехай =
( ) −деяка функція, графіком якої є лінія

L, диференційована у точці . У декартовій

прямокутній системі координат точка М, яка
лежить на графіку функції = ( ) має

координати ( ; ( )).

Нехай точка N графіку функції (рис. 56) і має
координати (( + ∆ ; ( + ∆ )).

Проведемо через точку М пряму , паралельну
О і позначимо точку її перетину з прямою
= + ∆ через Р. Розглянемо прямокутний трикутник МNР

46