Page 156 - 6197


 L  x,u   2x  u  u  0 .
1
1
2
Допустимо, що перше обмеження пасивне - 2 x  0 , а
друге – активне, тобто 1 x  0 . Тоді для виконання умов
(3.22) і (3.23) множники Лагранжа повинні набути таких
0
0
1
значень: u  , u  . Оскільки 1 x  0 , то x   .
1 2
Підставляючи знайдені значення x і u у рівняння
1
 2x  u  u  0 , знайдемо u  2 0 .
1 1 2 2
Таким чином, у точці x   умови теореми Куна-Таккера
1
виконуються, разом з тим, ця точка не є оптимальною.
Аналогічно можна показати, що при x  умови теореми
2
Куна-Таккера теж виконуються.
Сформулюємо тепер достатні умови існування локального
мінімуму задачі (3.1) – (3.2). Нехай виконуються необхідні
умови, які визначаються теоремою Куна-Таккера, та існують
T
такі ненульові вектори y , що y  g   0x *  для всіх
i
T
активних і y  h   0x *  , j  1,m для обмежень-рівностей.
j
Тоді
*
*
T
y  2 R  x ,u , *  y 
0
є достатньою умовою існування локального мінімуму задачі
нелінійного програмування.
Проілюструємо застосування теореми Куна-Таккера на
такому прикладі.
Приклад 3.4. Знайти мінімум функції
2
R   x  x  2x
1 2
за умови, що
2
g   x   x  x  2 0 ,
1 1 2
g   x  x  2x  4 0 .
2 1 2

156