Page 145 - 6197

Розв’язавши систему рівнянь (3.11) відносно змінних x ,
1

x і  , визначимо точку x   ,x x , де можливий локальний
2 1 2
мінімум задачі (3.6), (3.7).
Неважко переконатись, що перші два рівняння системи
(3.11) можна отримати, якщо про-диференціювати вираз



L  ,x   R  ,x x   h  ,x x
1
2
1
2
за змінними x та x .
1 2

Функція L  ,x  називається функцією Лагранжа. У
загальному випадку змінних може бути n , а число обмежень
m . Тоді функція Лагранжа
m

L  ,x   R   x    j h j   x .
j 1
Запишемо у загальному вигляді систему рівнянь для задачі
(3.6), (3.7)
 L  ,x  
 0 , k  1,n, (3.12)
x 
k
 L  ,x  
 0 , j  1,m. (3.13)

j
Отже, для знаходження розв’язку задачі (3.6), (3.7) на
умовний мінімум будемо мати n m у загальному випадку
нелінійних алгебраїчних рівнянь, з яких необхідно визначити

n m невідомих x , k  1,n та  , j  1,m. Знайдені у такий
k j
*
*
спосіб x , k  1,n і  , j  1,m забезпечують тільки необхідні
k j
умови існування умовного мінімуму задачі (3.6), (3.7).
Цей факт, що не всі знайденні значення u із умов (3.12) і
k
(3.13) є локальним мінімумом або максимумом, засвідчує
поданий на рис. 3.1 приклад з n  і m  1.
2

145