Page 118 - 5637

Матриця коваріації помилки визначається матричним нелінійним

диференціальним рівнянням Ріккаті

( ) = ( ) ( ) + ( ) ( ) −

− ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ), ( ) = ( ). (6.24)

Якщо математична модель задана у вигляді
̇( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ), ( ) = ,

( ) = ( ) ( ) + ( ),
то лінійна незміщена оцінка вектора стану ( ) з мінімальною середньо-квадратичною

помилкою визначається як рішення наступного диференціального рівняння:

( ) = ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ){ ( ) − ( ) ( )}, ( ) = .

Матриця ( ) визначається за формулою (6.23). Матриця ( ) є рішенням

рівняння Ріккаті (6.24). Рівняння (6.24) аналітично вирішується рідко, тому його слід

вирішувати чисельними методами (див. [1, 2, 62]). Проте в деяких випадках це

рівняння може бути вирішено і аналітично. Нехай однорідне диференціальне рівняння

помилки фільтрації має вигляд

̇( ) = [ ( ) − ( ) ( ) ( ) ( )] ̅( ),
поєднане йому

̇

( ) = [− ( ) + ( ) ( ) ( ) ( )] ( ).
Правила-побудови поєднаної системи даються наступною формулою: якщо

̇ = ( ) , то сполучена матриця = − ( ) , тобто транспонується і береться з
протилежним знаком. Рівняння Ріккаті (5,24) множиться на ( ) справа:

( ) ( ) = [ ( ) ( ) + ( ) ( ) − ( ) ( ) ( ) ( ) + ( )] ( ).

Примножуючи поєднане рівняння на ( ) зліва і складаючи з попереднім, отримуємо:

̇

( ) ( ) + ( ) ( ) = ( ) ( ) + ( ) ( ) .

Нелінійний член в цьому рівнянні відсутня. Ввівши ( ) ( ) = ( ), отримаємо
однорідну лінійну систему

− ( ) ( ) ( ) ( )
=
( ) ( )