Page 112 - 5637

задачі фільтрації. Одним з найбільш ефективних і поширених методів розв'язання

задачі фільтрації є алгоритм Калмана [20, 45, 46].

Нехай задана математична модель лінійної динамічної системи в дискретному

часі

( + 1) = ( ) ( ) + ( ), = 0, 1, …, (6.16)

де ( ) – недоступний безпосередньому виміру вектор стану системи;

( ) – випадкові гаусові обурення ( ( ) та ( ) – -мірні); ( ) – детермінована

( × )-матриця.

Заданими вважаються наступні характеристики:

[ (0)] = (0), [{ (0) − ̅(0)} { (0) − ̅(0)} ] = (0),

[ (0)] = (0), [{ ( ) − ( )} { ( ) − ( )} ] = ( ) ,

[{ ( ) − ( )} { (0) − ̅(0)} ] = 0,

= 1 при = і = 0 при ≠ , (6.17)

де ( ) – відома матриця.

Співвідношення, що описують процес виміру вектора стану, також лінійні:

( ) = ( ) ( ) + ( ), = 0, 1, …, (6.18)

де ( ) – вектор виміру (спостереження); ( ) – вектор похибок гаусів виміру ( ( ) і

( ) – -мірний); ( ) – задана ( × )-матриця. Про вектор (к) відомо, що

[ ( )] = ( ), [ ( ) ( )] = ( )

(матриця ( ) задана),

[{ ( ) − ( )} ( )] = 0, [{ (0) − ̅(0)} ( )] = 0,
тобто вектор ( ) не корелював ні з збуреннями системи, ні з початковим значенням.

Надалі без обмеження спільності можна вважати, що ( ) = ( ) = 0 і (0) = 0.

На основі спостережень (0), … , ( ) потрібно знайти несмещенную (з
математичним очікуванням, рівним істинного значення оцінюваних параметрів)

оцінку ( ) вектора ( ). Помилкою оцінювання служить величина ( ) − ( ), а

критерієм оптимальності оцінки – математичне сподівання її квадрата

[ ( ) − ( )] . Як оптимальної оцінки вектора ( ) служить його умовне

математичне сподівання [46]

( ) = [ ( )| (0), … , ( )],

що реалізує мінімум середнього квадрата помилки оцінювання.