Page 63 - 4974

2) визначаємо похідну по z від рівняння (4.46):

2
dx  z R  2 LR tg  R 2  RL 2  R L tg  R 2 
 i i i i i i i i i (4.47)
2
2
2
dz L  R  2 LR i i tg i  R 2 z  2 zL i R  R i L i tg i  R i 2  L 2 i R 2
i
i

3) визначаємо диференціал дуги AK , підставивши в рівняння (4.38)
dx
значення , взяте з рівняння (4.47):
dz

  z R 2  2 LR tg  R 2  RL 2  R L tg  R 2   2

ds  1  2 i i i 2 i 2 i 2 i i i 2 i 2 2  (4.48)
  R i  2 LR i i tg i  R z  2L i R  R i L i tg i  R i   Lz i R 

4) площа поверхні визначиться підстановкою виразів (4.46) і (4.48) в
рівняння (4.37):
L i 1
2
2
2
2
S  2   R  2 R i L i tg i  R 2 z  2 L i R  R i L i tg i  R i 2 z  L 2 R 
i
i
0 L i
(4.49)
2
  z R  2 R L tg  R 2  RL 2  R L tg  R 2  
2

1  i i i i i i i i i  dz
2
2
2
2
 L  R  2 R L tg  R 2 z  2 L R  R L tg  R 2 z  L 2 R 
 i i i i i i i i i i i 

Введемо такі позначення:
2
2
m  R  2 LR tg  R ;
1 i i i i
2
m  2L R  R L tg  R 2  ;
2 i i i i i
2
m  L 2 R .
3 i
Тоді рівняння (4.49) набуде вигляду:

L 2
2 i  m 
S 2  m 1 2  L 2 i m 1 z 2   mm 1 2  L 2 m 2   Lz  2 i m 3  2 dz . (4.50)
i


L i 0  4 

Позначимо
2
m
2
2
n  m  L 2 m ; n  m m  L 2 m 2 ; n  L 2 m  2 ; Z  n z  n z  n .
1 1 i 1 2 1 2 i 3 i 3 1 2 3
4
Рівняння (4.50) набуде вигляду
L i  2 L i 
2 2  n2 z  n  Z L 4 n n  n dz
S  Z dz   1 2 0 i  1 3 2   (4.51)
L 2 L 2  4 n n 8 Z 
i 0 i  1 1 0 

Отже, проінтегрувавши вираз від 0 до L , отримаємо вираз площі відсіку
i
поверхні еліпсоїда та двопорожнинного гіперболоїда обертання:
63