Page 43 - 4974

3.7 Поверхні обертання
Поверхнею обертання загального вигляду називають поверхню, що

утворюється довільною кривою (плоскою або просторовою) при її обертанні
навколо нерухомої осі (рис. 3.19).
Кожна точка твірної A, B, C, D  при
обертанні навколо осі i описує коло з
центром на осі обертання. Ці кола
називаються паралелями. Найбільшу і
найменшу паралель називають відповідно
екватором і горлом (шийкою).
Площини, що проходять через вісь
поверхні обертання (на рис. 3.19 –
площина Г), називають меридіональними,
а лінії, по яких вони перетинають
поверхню, – меридіанами.
Каркас поверхні обертання можна
представити паралелями або меридіанами Рисунок 3.19
поверхні, а також сіткою, що складається
з паралелей і меридіанів.

Нижче наведено основні властивості поверхонь обертання:
– якщо меридіан проходить через дві точки поверхні, то його відрізок –
найкоротша відстань (геодезична лінія) на поверхні між цими точками;
– всі меридіани рівні між собою;
– кожна з паралелей поверхні обертання перетинає меридіани під прямим
кутом, тобто паралелі і меридіани утворюють прямокутну сітку на поверхні
обертання;
– будь-яка з нормалей до поверхні обертання перетинає вісь поверхні.
При обертанні навколо осі плоскої або просторової алгебраїчної кривої n -го
порядку загалом утворюється алгебраїчна поверхня n2 -го порядку. Якщо крива
другого порядку обертається навколо своєї осі симетрії, то вона утворює
поверхню 2-го порядку.
Розглянемо деякі часткові види поверхонь обертання.
Конус обертання. Твірна пряма g перетинає вісь обертання i в точці S

2 2 2 2
(рис. 3.20). Рівняння поверхні z  k x  y  .
На поверхні конуса обертання можна вибрати будь-яку криву лінію a , що
перетинає вісь i . Її можна прийняти за твірну поверхні. Твірною поверхні
конуса обертання можна вважати і коло, радіус якого пропорціонально
змінюється з переміщенням його центра на осі i , тобто поверхню конуса
обертання можна розглядати як поверхню з подібними перерізами.
Це означає, що одна і та ж поверхня має різні способи утворення і задання.

Циліндр обертання. Твірна пряма g паралельна до осі обертання i (рис.
2 2 2
3.21). Рівняння поверхні x  y  r . На поверхні циліндра обертання можна
вибрати будь-яку криву лінію a і вважати її твірною поверхні. За твірну

43